ในโลกของคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันเป็นความสัมพันธ์ แต่ไม่ใช่ทุกความสัมพันธ์จะถือว่าเป็นฟังก์ชัน ความสัมพันธ์อธิบายเพียงแค่ความเชื่อมโยงระหว่างชุดตัวเลขสองชุด ในขณะที่ฟังก์ชันเป็นเซตย่อยที่มีระเบียบแบบแผน ซึ่งกำหนดให้ค่านำเข้าแต่ละค่าต้องนำไปสู่ค่าส่งออกที่เฉพาะเจาะจงเพียงค่าเดียวเท่านั้น
เซตของคู่ลำดับใดๆ ที่กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างอินพุตและเอาต์พุต
ความสัมพันธ์ประเภทหนึ่งที่แต่ละอินพุตมีเอาต์พุตเพียงหนึ่งเดียวและไม่ซ้ำกัน
| ฟีเจอร์ | ความสัมพันธ์ | การทำงาน |
|---|---|---|
| คำนิยาม | กลุ่มของคู่ลำดับใดๆ | กฎที่กำหนดให้ผลลัพธ์หนึ่งรายการต่ออินพุตหนึ่งรายการ |
| อัตราส่วนอินพุต/เอาต์พุต | อนุญาตให้มีการเชื่อมโยงแบบหนึ่งต่อหลายได้ | แบบหนึ่งต่อหนึ่ง หรือหลายต่อหนึ่งเท่านั้น |
| การทดสอบเส้นแนวตั้ง | อาจเกิดข้อผิดพลาดได้ (ตัดกันสองครั้งขึ้นไป) | ต้องผ่าน (ตัดกันไม่เกินหนึ่งครั้ง) |
| ตัวอย่างภาพประกอบ | วงกลม, พาราโบลาข้าง, เส้นโค้ง S | เส้นตรง พาราโบลาขาขึ้น คลื่นไซน์ |
| ขอบเขตทางคณิตศาสตร์ | หมวดหมู่ทั่วไป | หมวดหมู่ย่อยของความสัมพันธ์ |
| ความสามารถในการคาดการณ์ | ต่ำ (มีคำตอบที่เป็นไปได้หลายข้อ) | สูง (มีคำตอบที่แน่นอนเพียงคำตอบเดียว) |
ความแตกต่างหลักอยู่ที่พฤติกรรมของโดเมน ในความสัมพันธ์ คุณอาจป้อนเลข 5 แล้วได้ผลลัพธ์เป็น 10 หรือ 20 ซึ่งสร้างสถานการณ์แบบ 'หนึ่งต่อหลาย' แต่ฟังก์ชันจะห้ามความกำกวมนี้ หากคุณป้อนเลข 5 คุณจะต้องได้ผลลัพธ์เดียวที่สม่ำเสมอทุกครั้ง ทำให้ระบบมีความแน่นอน
คุณสามารถสังเกตความแตกต่างได้ทันทีบนกราฟโดยใช้การทดสอบเส้นแนวตั้ง หากคุณสามารถลากเส้นแนวตั้งที่ใดก็ได้บนกราฟแล้วเส้นนั้นสัมผัสกับเส้นโค้งมากกว่าหนึ่งจุด แสดงว่ามีความสัมพันธ์กันอยู่ ฟังก์ชันจะมีลักษณะที่ 'เรียบง่าย' กว่าและจะไม่วกกลับมาทับซ้อนกันในแนวนอน
ลองนึกถึงความสูงของคนคนหนึ่งในช่วงเวลาต่างๆ ณ อายุใดๆ คนๆ นั้นจะมีความสูงเพียงค่าเดียว ซึ่งทำให้ความสูงเป็นฟังก์ชัน ในทางกลับกัน ลองนึกถึงรายชื่อคนและรถยนต์ที่พวกเขาเป็นเจ้าของ เนื่องจากคนๆ หนึ่งอาจเป็นเจ้าของรถยนต์ที่แตกต่างกันถึงสามคัน ความสัมพันธ์นั้นจึงเป็นความสัมพันธ์เชิงสถิติ ไม่ใช่ฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเป็นเครื่องมือสำคัญในแคลคูลัสและฟิสิกส์ เพราะความสามารถในการคาดการณ์ของฟังก์ชันทำให้เราสามารถคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงได้ เราใช้สัญลักษณ์ 'f(x)' สำหรับฟังก์ชันโดยเฉพาะเพื่อแสดงว่าผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับ 'x' เพียงอย่างเดียว ความสัมพันธ์มีประโยชน์ในเรขาคณิตสำหรับการกำหนดรูปร่าง เช่น วงรี ซึ่งไม่เป็นไปตามกฎที่เข้มงวดเหล่านี้
ฟังก์ชันไม่สามารถมีอินพุตสองค่าที่แตกต่างกันแล้วให้ผลลัพธ์เดียวกันได้
อันที่จริงแล้ว การกระทำเช่นนี้เป็นสิ่งที่อนุญาต ตัวอย่างเช่น ในฟังก์ชัน f(x) = x² ทั้ง -2 และ 2 ต่างก็ให้ผลลัพธ์เป็น 4 นี่คือความสัมพันธ์แบบ 'หลายต่อหนึ่ง' ซึ่งถูกต้องตามหลักการสำหรับฟังก์ชัน
สมการของวงกลมคือฟังก์ชัน
วงกลมเป็นความสัมพันธ์ ไม่ใช่ฟังก์ชัน ถ้าคุณลากเส้นตรงผ่านวงกลม เส้นนั้นจะตัดที่จุดสูงสุดและจุดต่ำสุด ซึ่งหมายความว่าค่า x หนึ่งค่าจะมีค่า y สองค่า
คำว่า 'ความสัมพันธ์' และ 'หน้าที่' สามารถใช้แทนกันได้
พวกมันเป็นเทอมที่ซ้อนกันอยู่ ถึงแม้คุณจะเรียกฟังก์ชันว่าเป็นความสัมพันธ์ได้ แต่การเรียกความสัมพันธ์ทั่วไปว่าเป็นฟังก์ชันนั้นไม่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์ หากมันขัดกับกฎผลลัพธ์เดียว
ฟังก์ชันจะต้องเขียนอยู่ในรูปสมการเสมอ
ฟังก์ชันสามารถแสดงได้ด้วยตาราง กราฟ หรือแม้แต่ชุดพิกัด ตราบใดที่ยังคงรักษาหลักการ "หนึ่งผลลัพธ์ต่อหนึ่งอินพุต" ไว้ รูปแบบก็ไม่สำคัญ
ใช้ความสัมพันธ์เมื่อคุณต้องการอธิบายการเชื่อมต่อทั่วไปหรือรูปทรงเรขาคณิตที่วนกลับมาที่จุดเริ่มต้น เปลี่ยนไปใช้ฟังก์ชันเมื่อคุณต้องการแบบจำลองที่คาดการณ์ได้ ซึ่งทุกการกระทำจะส่งผลให้เกิดปฏิกิริยาที่เฉพาะเจาะจงและทำซ้ำได้
ทั้งการแปลงลาปลาสและการแปลงฟูริเยร์เป็นเครื่องมือที่ขาดไม่ได้สำหรับการเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์จากโดเมนเวลาที่ซับซ้อนไปสู่โดเมนความถี่เชิงพีชคณิตที่ง่ายกว่า ในขณะที่การแปลงฟูริเยร์เป็นเครื่องมือที่นิยมใช้ในการวิเคราะห์สัญญาณสภาวะคงที่และรูปแบบคลื่น การแปลงลาปลาสเป็นการขยายความที่มีประสิทธิภาพมากกว่า ซึ่งสามารถจัดการกับพฤติกรรมชั่วคราวและระบบที่ไม่เสถียรได้โดยการเพิ่มปัจจัยการลดทอนในการคำนวณ
การแยกตัวประกอบเฉพาะคือเป้าหมายทางคณิตศาสตร์ในการแยกจำนวนประกอบออกเป็นหน่วยพื้นฐานที่เป็นจำนวนเฉพาะ ในขณะที่แผนผังตัวประกอบเป็นเครื่องมือแสดงภาพแบบแตกแขนงที่ใช้เพื่อให้ได้ผลลัพธ์นั้น โดยที่อย่างหนึ่งคือผลลัพธ์เชิงตัวเลขสุดท้าย อีกอย่างหนึ่งคือแผนที่ขั้นตอนทีละขั้นที่ใช้ในการค้นหาผลลัพธ์นั้น
ในสาขาคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง คำว่า 'การเรียงสับเปลี่ยน' และ 'การจัดเรียง' มักถูกใช้แทนกันได้เพื่ออธิบายลำดับเฉพาะของชุดสิ่งของ โดยที่ลำดับมีความสำคัญ การเรียงสับเปลี่ยนเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการในการเรียงลำดับองค์ประกอบ ในขณะที่การจัดเรียงเป็นผลลัพธ์ทางกายภาพหรือเชิงแนวคิดของกระบวนการนั้น ซึ่งแตกต่างจากการรวมกันแบบง่ายๆ ที่ลำดับไม่สำคัญ
แม้ว่าทั้งสองแนวคิดจะเกี่ยวข้องกับการเลือกรายการจากกลุ่มที่ใหญ่กว่า แต่ความแตกต่างพื้นฐานอยู่ที่ว่าลำดับของรายการเหล่านั้นมีความสำคัญหรือไม่ การเรียงสับเปลี่ยนมุ่งเน้นไปที่การจัดเรียงเฉพาะที่ตำแหน่งเป็นกุญแจสำคัญ ในขณะที่การจัดหมู่พิจารณาเฉพาะรายการที่ถูกเลือก ทำให้การเรียงสับเปลี่ยนเป็นเครื่องมือที่จำเป็นสำหรับความน่าจะเป็น สถิติ และการแก้ปัญหาที่ซับซ้อน
การเรียงสับเปลี่ยนเป็นเทคนิคการนับที่ใช้ในการหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่ชุดสิ่งของสามารถเรียงลำดับได้อย่างเฉพาะเจาะจง ในขณะที่ความน่าจะเป็นคืออัตราส่วนที่เปรียบเทียบการเรียงลำดับเฉพาะเหล่านั้นกับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เพื่อกำหนดโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ขึ้น
