V svetu matematike je vsaka funkcija relacija, vendar se ne vsaka relacija kvalificira kot funkcija. Medtem ko relacija preprosto opisuje katero koli povezavo med dvema nizoma števil, je funkcija disciplinirana podmnožica, ki zahteva, da vsak vhod vodi do natanko enega specifičnega izhoda.
Vsak niz urejenih parov, ki definira povezavo med vhodi in izhodi.
Specifična vrsta relacije, kjer ima vsak vhod en sam, edinstven izhod.
| Funkcija | Razmerje | Funkcija |
|---|---|---|
| Definicija | Vsaka zbirka urejenih parov | Pravilo, ki dodeli en izhod na vhod |
| Razmerje vhod/izhod | Dovoljeno je ena proti mnogim | Samo ena proti ena ali več proti ena |
| Preskus navpične črte | Lahko ne uspe (se seka dvakrat ali večkrat) | Obvezno mimo (se križa enkrat ali manj) |
| Grafični primeri | Krogi, stranske parabole, S-krivulje | Črte, parabole navzgor, sinusni valovi |
| Matematično področje uporabe | Splošna kategorija | Podkategorija odnosov |
| Predvidljivost | Nizko (več možnih odgovorov) | Visoko (en dokončen odgovor) |
Glavna razlika je v obnašanju domene. V relaciji lahko vnesete število 5 in dobite nazaj 10 ali 20, kar ustvari scenarij »ena proti mnogo«. Funkcija prepoveduje to dvoumnost; če vstavite 5, morate vsakič dobiti en sam, dosleden rezultat, kar zagotavlja, da je sistem determinističen.
Razliko lahko na grafu takoj opazite z uporabo testa navpične črte. Če lahko kjer koli na grafu narišete navpično črto, ki se krivulje dotika na več kot enem mestu, gledate na relacijo. Funkcije so bolj »poenostavljene« in se nikoli ne podvojijo vodoravno nazaj nase.
Pomislite na višino osebe skozi čas; v kateri koli določeni starosti ima oseba natanko eno višino, kar pomeni, da je to funkcija. Nasprotno pa si predstavljajte seznam ljudi in avtomobilov, ki jih imajo v lasti. Ker lahko ena oseba poseduje tri različne avtomobile, je ta povezava relacija, ne pa funkcija.
Funkcije so delovne sile računa in fizike, ker nam njihova predvidljivost omogoča izračun stopenj sprememb. Zapis 'f(x)' uporabljamo posebej za funkcije, da pokažemo, da je izhod odvisen izključno od 'x'. Relacije so uporabne v geometriji za definiranje oblik, kot so elipse, ki ne sledijo tem strogim pravilom.
Funkcija ne more imeti dveh različnih vhodov, ki bi dala enak rezultat.
To je dejansko dovoljeno. Na primer, v funkciji f(x) = x² tako -2 kot 2 dasta rezultat 4. To je odnos »mnogo proti ena«, ki je za funkcijo popolnoma veljaven.
Enačbe za kroge so funkcije.
Krogi so relacije, ne funkcije. Če skozi krog narišete navpično črto, sega do vrha in dna, kar pomeni, da ima ena vrednost x dve vrednosti y.
Izraza »relacija« in »funkcija« se lahko uporabljata somenivo.
To so vgnezdeni izrazi. Čeprav lahko funkcijo imenujemo relacija, je imenovanje splošne relacije funkcija matematično nepravilno, če krši pravilo enega izhoda.
Funkcije morajo biti vedno zapisane kot enačbe.
Funkcije lahko predstavimo s tabelami, grafi ali celo z nizi koordinat. Dokler velja pravilo »en izhod na vhod«, oblika ni pomembna.
Relacijo uporabite, kadar morate opisati splošno povezavo ali geometrijsko obliko, ki se vrača sama nase. Funkcijo uporabite, kadar potrebujete predvidljiv model, kjer vsako dejanje povzroči eno specifično, ponovljivo reakcijo.
Čeprav se v uvodni matematiki pogosto uporabljata kot sopomenki, se absolutna vrednost običajno nanaša na oddaljenost realnega števila od ničle, medtem ko modul ta koncept razširja na kompleksna števila in vektorje. Oba služita istemu temeljnemu namenu: odstranitvi smernih znakov, da se razkrije čista velikost matematične entitete.
Medtem ko se algebra osredotoča na abstraktna pravila operacij in manipulacijo simbolov za reševanje neznank, geometrija raziskuje fizikalne lastnosti prostora, vključno z velikostjo, obliko in relativnim položajem likov. Skupaj tvorijo temelj matematike, saj prevajajo logične odnose v vizualne strukture.
Aritmetična sredina obravnava vsako podatkovno točko kot enakovreden prispevek h končnemu povprečju, medtem ko tehtana sredina dodeljuje določene stopnje pomembnosti različnim vrednostim. Razumevanje te razlike je ključnega pomena za vse, od izračuna preprostih povprečij razredov do določanja kompleksnih finančnih portfeljev, kjer imajo nekatera sredstva večji pomen kot druga.
svojem bistvu sta aritmetična in geometrijska zaporedja dva različna načina povečevanja ali krčenja seznama števil. Aritmetično zaporedje se s seštevanjem ali odštevanjem spreminja enakomerno, linearno, medtem ko se geometrijsko zaporedje s množenjem ali deljenjem eksponentno pospešuje ali upočasnjuje.
Ta primerjava pojasnjuje matematično razliko med celimi in racionalnimi števili, pri čemer prikazuje, kako je vsaka vrsta števil definirana, kako se povezujejo znotraj širšega številčnega sistema in v katerih primerih je ena klasifikacija primernejša za opisovanje številskih vrednosti.
