मिथ
साइन आणि कोसाइन हे पूर्णपणे वेगवेगळ्या प्रकारच्या लाटा आहेत.
वास्तव
ते प्रत्यक्षात समान गणितीय आकाराचे आहेत, ज्याला सायनसॉइड म्हणतात. जर तुम्ही साइन वेव्हला ९० अंशांनी हलवले तर ते पूर्णपणे कोसाइन वेव्ह बनते.
त्रिकोणमितीकॅल्क्युलसभूमितीलाटा
साइन विरुद्ध कोसाइन
साइन आणि कोसाइन हे त्रिकोणमितीचे मूलभूत घटक आहेत, जे एका युनिट वर्तुळाभोवती फिरणाऱ्या बिंदूच्या क्षैतिज आणि उभ्या निर्देशांकांचे प्रतिनिधित्व करतात. जरी त्यांचे नियतकालिक आकार आणि गुणधर्म समान असले तरी, ते 90-अंश फेज शिफ्टद्वारे ओळखले जातात, साइन शून्यापासून सुरू होते आणि कोसाइन त्याच्या कमाल मूल्यापासून सुरू होते.
ठळक मुद्दे
- साइन आणि कोसाइन हे एकसारखे लाटा आहेत जे ९० अंशांनी एकमेकांपासून दूर सरकतात.
- साइन उभ्या हालचालींचा मागोवा घेते; कोसाइन क्षैतिज हालचालींचा मागोवा घेते.
- त्यांच्या वर्गांची बेरीज नेहमीच एक असते ($sin^2(x) + cos^2(x) = 1$).
- कोसाइन y-अक्षावर सममितीय आहे, तर साइनमध्ये रोटेशनल सममिती आहे.
साइन (पाप) काय आहे?
एकक वर्तुळावरील बिंदूच्या y-निर्देशांकाचे प्रतिनिधित्व करणारे त्रिकोणमितीय कार्य.
- काटकोन त्रिकोणामध्ये, ते विरुद्ध बाजूचे कर्णाशी असलेले गुणोत्तर असते.
- हे फंक्शन विषम आहे, म्हणजेच sin(-x) बरोबर -sin(x) आहे.
- जेव्हा कोन 0 अंश असतो तेव्हा ते 0 च्या मूल्यापासून सुरू होते.
- साइन फंक्शनचे व्युत्पन्न म्हणजे कोसाइन फंक्शन.
- ते ९० अंशांवर (π/२ रेडियन) १ च्या सर्वोच्च मूल्यापर्यंत पोहोचते.
कोसाइन (cos) काय आहे?
एकक वर्तुळावरील बिंदूच्या x-निर्देशांकाचे प्रतिनिधित्व करणारे त्रिकोणमितीय कार्य.
- काटकोन त्रिकोणामध्ये, ते कर्णाच्या लगतच्या बाजूचे गुणोत्तर असते.
- हे फंक्शन सम आहे, म्हणजेच cos(-x) बरोबर cos(x) आहे.
- जेव्हा कोन ० अंश असतो तेव्हा ते त्याच्या कमाल मूल्य १ पासून सुरू होते.
- कोसाइन फंक्शनचे व्युत्पन्न हे ऋण साइन फंक्शन आहे.
- ते ९० अंशांवर (π/२ रेडियन) x-अक्ष (० चे मूल्य) ओलांडते.
तुलना सारणी
| वैशिष्ट्ये | साइन (पाप) | कोसाइन (cos) |
|---|---|---|
| युनिट वर्तुळ मूल्य | y-निर्देशांक | एक्स-कोऑर्डिनेट |
| ०° वर मूल्य | ० | १ |
| ९०° वर मूल्य | १ | ० |
| समता | विषम कार्य | सम कार्य |
| काटकोन त्रिकोणाचे प्रमाण | विरुद्ध / कर्ण | समीप / कर्ण |
| व्युत्पन्न | कॉस(x) | -पाप(x) |
| अविभाज्य | -कॉन्स(x) + क | पाप (x) + क |
तपशीलवार तुलना
युनिट सर्कल कनेक्शन
जेव्हा तुम्ही एका त्रिज्या असलेल्या वर्तुळाभोवती फिरणारा बिंदू पाहता तेव्हा साइन आणि कोसाइन त्याचे स्थान ट्रॅक करतात. साइन बिंदू केंद्रापासून किती वर किंवा खाली आहे हे मोजते, तर कोसाइन तो किती डावीकडे किंवा उजवीकडे सरकला आहे हे मोजते. कारण ते दोन्ही एकाच वर्तुळाकार गतीचे वर्णन करतात, ते मूलतः वेगवेगळ्या सुरुवातीच्या बिंदूंमधून पाहिले जाणारे समान लाट आहेत.
फेज शिफ्ट आणि वेव्हफॉर्म्स
जर तुम्ही दोन्ही फंक्शन्सचा आलेख काढला तर तुम्हाला दोन समान 'S' आकाराच्या लाटा दिसतील ज्या प्रत्येक 360 अंशांनी पुनरावृत्ती होतात. फरक एवढाच आहे की कोसाइन वेव्ह साइन वेव्हच्या तुलनेत 90 अंशांनी डावीकडे सरकल्यासारखे दिसते. तांत्रिक भाषेत, आपण म्हणतो की ते π/2 रेडियनने टप्प्याबाहेर आहेत, ज्यामुळे ते एकमेकांचे 'सह-कार्य' बनतात.
काटकोन त्रिकोण त्रिकोणमिती
मूलभूत भूमिती शिकणाऱ्या प्रत्येकासाठी, ही फंक्शन्स काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंनी परिभाषित केली जातात. साइन तुम्ही ज्या कोनाकडे पाहत आहात त्याच्या 'विरुद्ध' बाजूला लक्ष केंद्रित करते, तर कोसाइन 'लगतच्या' बाजूला लक्ष केंद्रित करते जी कोन तयार करण्यास मदत करते. दोन्ही फंक्शन्स कर्णाचा भाजक म्हणून वापर करतात, ज्यामुळे त्यांची मूल्ये -1 आणि 1 दरम्यान राहतात याची खात्री होते.
कॅल्क्युलस आणि बदलाचे दर
कॅल्क्युलसमध्ये, या फंक्शन्समध्ये भिन्नतेद्वारे एक सुंदर, वर्तुळाकार संबंध असतो. साइन व्हॅल्यू वाढत असताना, त्याचा बदल दर कोसाइन व्हॅल्यूद्वारे अचूकपणे वर्णन केला जातो. उलट, कोसाइन बदलत असताना, त्याचा बदल दर प्रतिबिंबित साइन पॅटर्नचे अनुसरण करतो. यामुळे ध्वनी लाटा किंवा पेंडुलम सारख्या दोलनशील कोणत्याही गोष्टीचे मॉडेलिंग करण्यासाठी ते अपरिहार्य बनतात.
गुण आणि दोष
साइन
गुणदोष
- + सोपी मूळ सुरुवात
- + उभ्या लाटांचे मॉडेल बनवते
- + साइन्सचा नियम सुलभ करते
- + थेट उंची मॅपिंग
संरक्षित केले
- − शिखरांसाठी फेज-लॅग्ड
- − साइन चेक आवश्यक आहेत
- − विषम सममिती जटिलता
- − रुंदीसाठी कमी अंतर्ज्ञानी
कोसाइन
गुणदोष
- + शिखरावर सुरू होते
- + मॉडेल्सची क्षैतिज रुंदी
- + कोसाइन उपयुक्ततेचा नियम
- + सम सममिती साधेपणा
संरक्षित केले
- − π/2 वर शून्य ओलांडते
- − ऋण व्युत्पन्न
- − अधिक कठीण उभ्या मॅपिंग
- − मूळ पासून ऑफसेट
सामान्य गैरसमजुती
मिथ
तुम्ही हे फक्त ९०-अंश कोन असलेल्या त्रिकोणांसाठी वापरू शकता.
वास्तव
जरी ते काटकोन त्रिकोण वापरून शिकवले जात असले तरी, साइन आणि कोसाइन ही कोणत्याही कोनाची फंक्शन्स आहेत आणि सर्व आकारांच्या त्रिकोणांमध्ये बाजूंच्या लांबी सोडवण्यासाठी वापरली जातात.
मिथ
साइन नेहमी 'y' दर्शवते आणि कोसाइन नेहमी 'x' दर्शवते.
वास्तव
मानक ध्रुवीय निर्देशांकांमध्ये, हे खरे आहे. तथापि, जर तुम्ही तुमची निर्देशांक प्रणाली फिरवली, तर तुम्ही तुमचा कोन कुठून मोजता यावर अवलंबून, दोन्ही अक्षांना दोन्हीपैकी एक फंक्शन नियुक्त करू शकता.
मिथ
साइन आणि कोसाइनची मूल्ये एकापेक्षा जास्त असू शकतात.
वास्तव
वास्तविक-क्रमांकित कोनांसाठी, मूल्ये -१ आणि १ मध्ये काटेकोरपणे अडकलेली असतात. केवळ जटिल संख्यांच्या क्षेत्रातच ही कार्ये त्या सीमा ओलांडू शकतात.
वारंवार विचारले जाणारे प्रश्न
त्याला 'कोसाइन' का म्हणतात?
'सह-' म्हणजे पूरक. कोनाचा कोसाइन म्हणजे त्याच्या पूरक कोनाचा (९० अंशांपर्यंत बेरीज करणारा कोन) साइन. उदाहरणार्थ, ३० अंशांचा कोसाइन हा ६० अंशांच्या साइनसारखाच असतो.
पायथागोरियन ओळख काय आहे?
हे सूत्र आहे $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$. हे थेट एकक वर्तुळावर लागू केलेल्या पायथागोरियन प्रमेयातून येते, जिथे कर्ण 1 आहे आणि पाय हे साइन आणि कोसाइन मूल्ये आहेत.
त्रिकोणात कोणते आहे हे मला कसे लक्षात ठेवायचे?
बहुतेक विद्यार्थी स्मृतिचिन्हात्मक SOH CAH TOA वापरतात. SOH म्हणजे साइन = विरुद्ध / कर्ण, आणि CAH म्हणजे कोसाइन = समीप / कर्ण. जर तुम्हाला आठवत असेल की 'A' 'समीप' साठी आहे, तर तुम्ही नेहमी कोनाला स्पर्श करणाऱ्या बाजूशी कोसाइन जोडाल.
हे प्रत्यक्ष जीवनात कुठे वापरले जातात?
ते अभियांत्रिकी आणि भौतिकशास्त्रात सर्वत्र आहेत. साइन आणि कोसाइनचा वापर ऑडिओ सिग्नलवर प्रक्रिया करण्यासाठी, वारा सहन करण्यासाठी पूल डिझाइन करण्यासाठी, ग्रहांच्या मार्गांची गणना करण्यासाठी आणि तुमच्या आवडत्या व्हिडिओ गेममध्ये ग्राफिक्स प्रोग्राम करण्यासाठी देखील केला जातो.
४५ अंशांवर काय होते?
४५ अंशांवर (किंवा π/४ रेडियन) साइन आणि कोसाइन अगदी समान असतात. दोघांचेही मूल्य $\frac{\sqrt{2}}{2}$ आहे, जे अंदाजे ०.७०७ आहे. कारण ४५ अंशांचा काटकोन त्रिकोण समद्विभुज असतो, म्हणजेच त्याचे दोन्ही पाय लांबीने समान असतात.
कोणते फंक्शन सम आहे?
कोसाइन हे सम फंक्शन आहे. याचा अर्थ असा की जर तुम्ही ऋण कोन जोडला तर तुम्हाला धन आवृत्ती ($cos(-45) = cos(45)$) सारखाच परिणाम मिळेल. साइन हे एक विषम फंक्शन आहे, म्हणून चिन्ह उलटते ($sin(-45) = -sin(45)$).
साइन आणि कोसाइन एकाच वेळी शून्य असू शकतात का?
नाही, ते दोन्ही एकाच कोनासाठी कधीही शून्य असू शकत नाहीत. पायथागोरियन ओळखीमुळे, जर एक शून्य असेल तर समीकरण पूर्ण करण्यासाठी दुसरा १ किंवा -१ असणे आवश्यक आहे.
ते स्पर्शिकेशी कसे संबंधित आहेत?
स्पर्शिका म्हणजे कोसाइनने भागलेल्या साइनचे गुणोत्तर. ते युनिट वर्तुळावरील रेषेचा उतार दर्शवते. जेव्हा कोसाइन शून्य असते, तेव्हा स्पर्शिका अपरिभाषित होते, ज्यामुळे स्पर्शिका आलेखामध्ये उभ्या असिम्प्टोट्स का असतात हे स्पष्ट होते.
या कार्यांचा कालावधी किती आहे?
साइन आणि कोसाइन दोन्हीचा मानक कालावधी ३६० अंश किंवा २π रेडियन असतो. याचा अर्थ असा की जेव्हा जेव्हा कोन वर्तुळाभोवती एक पूर्ण प्रदक्षिणा पूर्ण करतो तेव्हा लाट त्याचे संपूर्ण चक्र पुनरावृत्ती करते.
भौतिकशास्त्रात साइन किंवा कोसाइन जास्त वापरले जाते का?
दोन्ही समान प्रमाणात वापरले जातात, परंतु निवड बहुतेकदा तुमच्या सुरुवातीच्या बिंदूवर अवलंबून असते. जर एखादा पेंडुलम त्याच्या सर्वोच्च बिंदूपासून सोडला गेला तर तुम्ही सहसा कोसाइन वापरता. जर तो त्याच्या सर्वात कमी बिंदूपासून (विश्रांती) हालचाल करू लागला तर तुम्ही सहसा साइन वापरता.
निकाल
तटस्थ मध्यबिंदूपासून सुरू होणाऱ्या उभ्या उंची, उभ्या बल किंवा दोलनांचा विचार करताना साइन वापरा. क्षैतिज अंतर, पार्श्व प्रक्षेपण किंवा कमाल शिखरापासून सुरू होणारे चक्र मोजताना कोसाइन निवडा.
संबंधित तुलना
अंकगणित विरुद्ध भौमितिक क्रम
त्यांच्या गाभ्यामध्ये, अंकगणित आणि भूमितीय क्रम हे संख्यांची यादी वाढवण्याचे किंवा कमी करण्याचे दोन वेगवेगळे मार्ग आहेत. अंकगणित क्रम बेरीज किंवा वजाबाकीद्वारे स्थिर, रेषीय वेगाने बदलतो, तर भौमितिक क्रम गुणाकार किंवा भागाकाराद्वारे घातांकीय गतीने वाढतो किंवा कमी होतो.
अंकगणितीय सरासरी विरुद्ध भारित सरासरी
अंकगणित सरासरी प्रत्येक डेटा पॉइंटला अंतिम सरासरीमध्ये समान योगदानकर्ता मानते, तर भारित सरासरी वेगवेगळ्या मूल्यांना विशिष्ट पातळीचे महत्त्व देते. साध्या वर्ग सरासरीची गणना करण्यापासून ते जटिल आर्थिक पोर्टफोलिओ निश्चित करण्यापर्यंत जिथे काही मालमत्ता इतरांपेक्षा अधिक महत्त्वाच्या असतात अशा प्रत्येक गोष्टीसाठी हा फरक समजून घेणे महत्त्वाचे आहे.
एक-ते-एक विरुद्ध ऑन्टू फंक्शन्स
दोन्ही संज्ञा दोन संचांमधील घटकांचे मॅपिंग कसे केले जाते याचे वर्णन करतात, परंतु ते समीकरणाच्या वेगवेगळ्या बाजूंना संबोधित करतात. एक-ते-एक (इंजेक्टिव्ह) फंक्शन्स इनपुटच्या विशिष्टतेवर लक्ष केंद्रित करतात, हे सुनिश्चित करतात की कोणतेही दोन मार्ग एकाच गंतव्यस्थानाकडे जात नाहीत, तर (सर्जेक्टिव्ह) फंक्शन्स प्रत्येक संभाव्य गंतव्यस्थान प्रत्यक्षात पोहोचले आहे याची खात्री करतात.
कन्व्हर्जंट विरुद्ध डायव्हर्जंट मालिका
अभिसरण आणि भिन्न श्रेणीतील फरक हे ठरवतो की संख्यांची अनंत बेरीज विशिष्ट, मर्यादित मूल्यात स्थिर होते की अनंताकडे जाते. एक अभिसरण श्रेणी हळूहळू त्यांच्या पदांना 'संकुचित' करते जोपर्यंत त्यांची एकूण संख्या स्थिर मर्यादेपर्यंत पोहोचत नाही, परंतु भिन्न श्रेणी स्थिर होण्यास अपयशी ठरते, एकतर बंधनाशिवाय वाढते किंवा कायमचे दोलन करते.
कार्टेशियन विरुद्ध ध्रुवीय निर्देशांक
दोन्ही प्रणाली द्विमितीय समतलातील स्थाने निश्चित करण्याचा प्राथमिक उद्देश पूर्ण करतात, परंतु त्या वेगवेगळ्या भौमितिक तत्वज्ञानातून या कार्याकडे जातात. कार्टेशियन निर्देशांक क्षैतिज आणि उभ्या अंतरांच्या कठोर ग्रिडवर अवलंबून असतात, तर ध्रुवीय निर्देशांक मध्यवर्ती स्थिर बिंदूपासून थेट अंतर आणि कोनावर लक्ष केंद्रित करतात.