वास्तविक संख्यांमध्ये आपण सामान्यतः भौतिक जग मोजण्यासाठी वापरत असलेल्या सर्व मूल्यांचा समावेश असतो - पूर्णांकांपासून ते अनंत दशांशांपर्यंत - जटिल संख्या काल्पनिक एकक $i$ सादर करून या क्षितिजाचा विस्तार करतात. ही बेरीज गणितज्ञांना वास्तविक उपाय नसलेली समीकरणे सोडवण्यास अनुमती देते, ज्यामुळे आधुनिक भौतिकशास्त्र आणि अभियांत्रिकीसाठी आवश्यक असलेली द्विमितीय संख्या प्रणाली तयार होते.
एका अखंड एक-आयामी संख्यारेषेवर आढळू शकणाऱ्या सर्व परिमेय आणि अपरिमेय संख्यांचा संच.
संख्या $a + bi$ या स्वरूपात व्यक्त केल्या जातात, जिथे $a$ आणि $b$ वास्तव आहेत आणि $i$ हे काल्पनिक एकक आहे.
| वैशिष्ट्ये | वास्तविक संख्या | जटिल संख्या |
|---|---|---|
| सामान्य फॉर्म | $x$ (जिथे $x$ हे कोणतेही वास्तविक मूल्य आहे) | $a + bi$ (जिथे $i = \sqrt{-1}$) |
| परिमाण | १डी (संख्या रेषा) | २डी (द कॉम्प्लेक्स प्लेन) |
| संख्येचा वर्ग | नेहमी नकारात्मक ($x^2 \geq 0$) | ऋण असू शकते (उदा., $(2i)^2 = -4$) |
| ऑर्डर करत आहे | ऑर्डर करता येते ($१ < २ < ३$) | 'पेक्षा मोठे' किंवा 'पेक्षा कमी' असा कोणताही मानक संबंध नाही. |
| घटक | पूर्णपणे वास्तविक | वास्तविक भाग आणि काल्पनिक भाग |
| शारीरिक अंतर्ज्ञान | थेट मोजता येण्याजोग्या प्रमाणात | रोटेशन, फेज आणि दोलन यांचे वर्णन करते |
वास्तविक संख्या एका साध्या, सरळ रेषेवर राहतात जी दोन्ही दिशांना अनंततेपर्यंत पसरते. तथापि, जटिल संख्यांना अस्तित्वात राहण्यासाठी संपूर्ण समतल आवश्यक असते; वास्तविक भाग तुम्हाला डावीकडे किंवा उजवीकडे हलवतो, तर काल्पनिक भाग तुम्हाला वर किंवा खाली हलवतो. 1D ते 2D कडे जाणारा हा बदल हा मूलभूत उडी आहे जो जटिल गणिताला इतका शक्तिशाली बनवतो.
जर तुम्ही फक्त वास्तविक संख्या वापरून -9 चे वर्गमूळ शोधण्याचा प्रयत्न केला तर तुम्ही पूर्णपणे चुकीच्या मार्गावर पोहोचाल कारण कोणत्याही वास्तविक संख्येचा स्वतःने गुणाकार केल्याने ऋण मिळत नाही. जटिल संख्या $3i$ ला उत्तर म्हणून परिभाषित करून हे सोडवतात. ऋण मुळे हाताळण्याची ही क्षमता सुनिश्चित करते की इलेक्ट्रॉनिक्स आणि क्वांटम मेकॅनिक्समधील गणितीय मॉडेल्स ऋणांच्या वर्गमूळांना भेटल्यावर फक्त 'ब्रेक' होत नाहीत.
वास्तविक जगात, 'आकार' सरळ आहे—५ हा २ पेक्षा मोठा आहे. गुंतागुंतीच्या जगात, आपण 'परिमाण' किंवा 'परिपूर्ण मूल्य' म्हणजे समतलावरील मूळ स्थानापासून (शून्य) अंतर म्हणून बोलतो. जटिल संख्यांमध्ये कोन आणि अंतर असल्याने, त्या सदिशांप्रमाणे वागतात, ज्यामुळे ते पर्यायी प्रवाह किंवा ध्वनी लहरींचे विश्लेषण करण्यासाठी परिपूर्ण साधन बनतात.
हे दोन्ही गट पूर्णपणे वेगळे आहेत असे मानणे ही एक सामान्य चूक आहे. प्रत्यक्षात, प्रत्येक वास्तविक संख्या ही प्रत्यक्षात एक जटिल संख्या असते जिथे काल्पनिक भाग शून्य असतो ($a + 0i$). वास्तविक संख्या प्रणाली ही फक्त एक विशिष्ट उपसंच असते—एक रेषा—जटिल समतलाच्या विशाल, अनंत महासागरात.
काल्पनिक संख्या 'वास्तविक' नाहीत किंवा वास्तविक जगात उपयुक्त नाहीत.
दुर्दैवी नाव असूनही, वास्तविक जगातील तंत्रज्ञानासाठी काल्पनिक संख्या महत्वाच्या आहेत. त्यांचा वापर दररोज पॉवर ग्रिड डिझाइन करण्यासाठी, विमान स्थिर करण्यासाठी आणि तुमच्या स्मार्टफोनमध्ये डिजिटल सिग्नल प्रक्रिया करण्यासाठी केला जातो.
संख्या ही वास्तविक किंवा गुंतागुंतीची असते, पण दोन्ही कधीच नसते.
सर्व वास्तव संख्या जटिल संख्या आहेत. जर तुमच्याकडे ५ ही संख्या असेल तर ती $५ + ०i$ अशी लिहिता येईल. त्यात शून्याचा एक काल्पनिक घटक असतो.
जटिल संख्या म्हणजे फक्त दोन वेगळ्या वास्तव संख्या आहेत ज्या एकत्र जोडल्या जातात.
त्यांचे दोन भाग असले तरी, ते गुणाकार आणि भागाकारासाठी अद्वितीय नियमांचे पालन करतात (जसे की $i \times i = -1$) जे वास्तविक संख्यांच्या साध्या जोड्या पाळत नाहीत. ते एकल, एकत्रित गणितीय घटक म्हणून वागतात.
गणितज्ञ कंटाळले होते म्हणून जटिल संख्यांचा शोध लागला.
ते प्रत्यक्षात १६ व्या शतकात घन समीकरणे सोडवण्यासाठी विकसित केले गेले होते. गणितज्ञांना हे समजले की त्यांच्या गणनेच्या मध्यभागी 'काल्पनिक' पायऱ्या पार केल्याशिवाय त्यांना योग्य 'खरी' उत्तरे मिळू शकत नाहीत.
दैनंदिन जीवनासाठी, मानक लेखांकनासाठी आणि मूलभूत मोजमापांसाठी वास्तविक संख्या वापरा जिथे मूल्ये साध्या प्रमाणात अस्तित्वात असतात. बहुआयामी समस्या, तरंग विश्लेषण किंवा प्रगत अभियांत्रिकीसह काम करताना जटिल संख्यांकडे वळा जिथे 'परिभ्रमण' आणि 'फेज' हे 'रक्कम' इतकेच महत्त्वाचे असतात.
त्यांच्या गाभ्यामध्ये, अंकगणित आणि भूमितीय क्रम हे संख्यांची यादी वाढवण्याचे किंवा कमी करण्याचे दोन वेगवेगळे मार्ग आहेत. अंकगणित क्रम बेरीज किंवा वजाबाकीद्वारे स्थिर, रेषीय वेगाने बदलतो, तर भौमितिक क्रम गुणाकार किंवा भागाकाराद्वारे घातांकीय गतीने वाढतो किंवा कमी होतो.
अंकगणित सरासरी प्रत्येक डेटा पॉइंटला अंतिम सरासरीमध्ये समान योगदानकर्ता मानते, तर भारित सरासरी वेगवेगळ्या मूल्यांना विशिष्ट पातळीचे महत्त्व देते. साध्या वर्ग सरासरीची गणना करण्यापासून ते जटिल आर्थिक पोर्टफोलिओ निश्चित करण्यापर्यंत जिथे काही मालमत्ता इतरांपेक्षा अधिक महत्त्वाच्या असतात अशा प्रत्येक गोष्टीसाठी हा फरक समजून घेणे महत्त्वाचे आहे.
दोन्ही संज्ञा दोन संचांमधील घटकांचे मॅपिंग कसे केले जाते याचे वर्णन करतात, परंतु ते समीकरणाच्या वेगवेगळ्या बाजूंना संबोधित करतात. एक-ते-एक (इंजेक्टिव्ह) फंक्शन्स इनपुटच्या विशिष्टतेवर लक्ष केंद्रित करतात, हे सुनिश्चित करतात की कोणतेही दोन मार्ग एकाच गंतव्यस्थानाकडे जात नाहीत, तर (सर्जेक्टिव्ह) फंक्शन्स प्रत्येक संभाव्य गंतव्यस्थान प्रत्यक्षात पोहोचले आहे याची खात्री करतात.
अभिसरण आणि भिन्न श्रेणीतील फरक हे ठरवतो की संख्यांची अनंत बेरीज विशिष्ट, मर्यादित मूल्यात स्थिर होते की अनंताकडे जाते. एक अभिसरण श्रेणी हळूहळू त्यांच्या पदांना 'संकुचित' करते जोपर्यंत त्यांची एकूण संख्या स्थिर मर्यादेपर्यंत पोहोचत नाही, परंतु भिन्न श्रेणी स्थिर होण्यास अपयशी ठरते, एकतर बंधनाशिवाय वाढते किंवा कायमचे दोलन करते.
दोन्ही प्रणाली द्विमितीय समतलातील स्थाने निश्चित करण्याचा प्राथमिक उद्देश पूर्ण करतात, परंतु त्या वेगवेगळ्या भौमितिक तत्वज्ञानातून या कार्याकडे जातात. कार्टेशियन निर्देशांक क्षैतिज आणि उभ्या अंतरांच्या कठोर ग्रिडवर अवलंबून असतात, तर ध्रुवीय निर्देशांक मध्यवर्ती स्थिर बिंदूपासून थेट अंतर आणि कोनावर लक्ष केंद्रित करतात.
