ही तुलना गणितातील परिमेय आणि अपरिमेय संख्यांमधील फरक स्पष्ट करते, त्यांची व्याख्या, दशांश रूप, सामान्य उदाहरणे आणि त्या वास्तव संख्या प्रणालीमध्ये कशा बसतात हे अधोरेखित करते, ज्यामुळे शिकणाऱ्यांना आणि शिक्षकांना या मूलभूत संख्यात्मक संकल्पना समजून घेण्यास मदत होते.
ज्या संख्यांना शून्येतर छेद असलेल्या दोन पूर्णांकांच्या गुणोत्तराच्या स्वरूपात लिहिता येते.
ज्या संख्यांना दोन पूर्णांकांच्या गुणोत्तराच्या स्वरूपात व्यक्त करता येत नाही आणि ज्यांच्या दशांश विस्तारामध्ये अंकांची पुनरावृत्ती होत नाही.
| वैशिष्ट्ये | परिमेय संख्या | अपरिमेय संख्या |
|---|---|---|
| व्याख्या | दोन पूर्णांकांच्या गुणोत्तराच्या रूपात व्यक्त करण्यायोग्य | पूर्णांकांच्या गुणोत्तराच्या रूपात व्यक्त करता येत नाही |
| दशांश वर्तन | खंडित होणारे किंवा आवर्ती | अखंडित, अनावर्ती |
| उदाहरणे | १/४, -२, ३.५ | √2, π, आणि |
| संच सदस्यता | वास्तव संख्यांचा उपसंच | वास्तव संख्यांचा उपसंच |
| अपूर्णांक स्वरूप | नेहमीच शक्य आहे | कधीही शक्य नाही |
| गणनीयता | गणनीय | असंख्य |
परिमेय संख्यांची व्याख्या अशी केली जाते की, त्यांना पूर्णांकांच्या p/q या अपूर्णांकाच्या स्वरूपात अचूकपणे लिहिता येते, जिथे छेद शून्य नसतो. अपरिमेय संख्यांना असे प्रतिनिधित्व शक्य नसते आणि त्यांच्यामध्ये कोणत्याही अचूक अपूर्णांकात्मक अभिव्यक्तीचा अभाव असतो. हे दोन्ही संच मिळून वास्तव संख्या प्रणाली तयार करतात.
एक महत्त्वाचा फरक दशांश रूपामध्ये दिसून येतो: परिमेय संख्यांच्या दशांश रूपांमध्ये दशांश अंक एकतर समाप्त होतात किंवा एका विशिष्ट क्रमाची पुनरावृत्ती करतात, जे त्यांचे एक निश्चित स्वरूप दर्शवते. अपरिमेय संख्यांच्या दशांश रूपांमध्ये दशांश अंक कोणत्याही पुनरावृत्तीशिवाय किंवा समाप्तीशिवाय पुढे चालू राहतात, ज्यामुळे ते अप्रत्याशित आणि अनंत विस्ताराचे असतात.
सामान्य परिमेय संख्यांमध्ये साधे अपूर्णांक, पूर्णांक आणि 0.75 किंवा 0.333… सारख्या दशांश संख्यांचा समावेश होतो, तर सुप्रसिद्ध अपरिमेय संख्यांमध्ये अपूर्ण वर्ग संख्यांची वर्गमुळे, π आणि यूलरचा अंक e यांचा समावेश होतो. हे दोन्ही प्रकारांमधील रचनात्मक फरक दर्शवते.
वास्तव संख्यांमध्ये परिमेय संख्या घन असतात, परंतु त्या गणनीय असतात, म्हणजेच त्यांची यादी करता येते, तरीही त्या संख्यारेषा व्यापतात. अपरिमेय संख्या अगणित अनंत असतात आणि त्या परिमेय संख्यांमधील पोकळी भरून काढतात, ज्यामुळे वास्तव संख्यांचा अखंड संच पूर्ण होतो.
सर्व अपूर्णांक संख्या अपरिमेय असतात.
अनेक अपूर्णांक संख्या परिमेय असतात, कारण त्यांना अपूर्णांकाच्या रूपात लिहिता येते. उदाहरणार्थ, 0.75 हे 3/4 च्या बरोबर आहे आणि म्हणूनच ती एक परिमेय संख्या आहे, अपरिमेय नाही.
अपरिमेय संख्या दुर्मिळ आणि महत्त्वहीन असतात.
अपरिमेय संख्या गणितात असंख्य आणि आवश्यक असतात, ज्या अगणितपणे अनंत संच तयार करतात आणि त्यात π आणि e सारखे प्रमुख स्थिरांक समाविष्ट असतात.
आवर्ती दशांश संख्या अपरिमेय असतात.
आवर्ती दशांश संख्यांचे अपूर्णांकांमध्ये रूपांतर करता येते, त्यामुळे दशांश स्थळांनंतर अनंत अंक असूनही, त्यांना परिमेय संख्या म्हणून वर्गीकृत केले जाते.
फक्त वर्गमुळेच अपरिमेय असतात.
काही वर्गमुळे अपरिमेय असली तरी, π आणि e सारख्या इतर अनेक प्रकारच्या संख्या देखील अपरिमेय असतात आणि त्या वर्गमुळांव्यतिरिक्त इतर ठिकाणी आढळतात.
जेव्हा अचूक अपूर्णांक किंवा आवर्ती दशांश पुरेसा असतो, जसे की साध्या मोजमाप आणि गणितांसाठी, तेव्हा परिमेय संख्या आदर्श असतात. जेव्हा भूमितीय स्थिरांक आणि ज्यांची किंमत सोपी करता येत नाही अशा वर्गमूळांशी व्यवहार करायचा असतो, तेव्हा अपरिमेय संख्या आवश्यक ठरतात. वास्तव संख्या प्रणाली पूर्णपणे समजून घेण्यासाठी या दोन्ही प्रकारच्या संख्या मूलभूत आहेत.
त्यांच्या गाभ्यामध्ये, अंकगणित आणि भूमितीय क्रम हे संख्यांची यादी वाढवण्याचे किंवा कमी करण्याचे दोन वेगवेगळे मार्ग आहेत. अंकगणित क्रम बेरीज किंवा वजाबाकीद्वारे स्थिर, रेषीय वेगाने बदलतो, तर भौमितिक क्रम गुणाकार किंवा भागाकाराद्वारे घातांकीय गतीने वाढतो किंवा कमी होतो.
अंकगणित सरासरी प्रत्येक डेटा पॉइंटला अंतिम सरासरीमध्ये समान योगदानकर्ता मानते, तर भारित सरासरी वेगवेगळ्या मूल्यांना विशिष्ट पातळीचे महत्त्व देते. साध्या वर्ग सरासरीची गणना करण्यापासून ते जटिल आर्थिक पोर्टफोलिओ निश्चित करण्यापर्यंत जिथे काही मालमत्ता इतरांपेक्षा अधिक महत्त्वाच्या असतात अशा प्रत्येक गोष्टीसाठी हा फरक समजून घेणे महत्त्वाचे आहे.
दोन्ही संज्ञा दोन संचांमधील घटकांचे मॅपिंग कसे केले जाते याचे वर्णन करतात, परंतु ते समीकरणाच्या वेगवेगळ्या बाजूंना संबोधित करतात. एक-ते-एक (इंजेक्टिव्ह) फंक्शन्स इनपुटच्या विशिष्टतेवर लक्ष केंद्रित करतात, हे सुनिश्चित करतात की कोणतेही दोन मार्ग एकाच गंतव्यस्थानाकडे जात नाहीत, तर (सर्जेक्टिव्ह) फंक्शन्स प्रत्येक संभाव्य गंतव्यस्थान प्रत्यक्षात पोहोचले आहे याची खात्री करतात.
अभिसरण आणि भिन्न श्रेणीतील फरक हे ठरवतो की संख्यांची अनंत बेरीज विशिष्ट, मर्यादित मूल्यात स्थिर होते की अनंताकडे जाते. एक अभिसरण श्रेणी हळूहळू त्यांच्या पदांना 'संकुचित' करते जोपर्यंत त्यांची एकूण संख्या स्थिर मर्यादेपर्यंत पोहोचत नाही, परंतु भिन्न श्रेणी स्थिर होण्यास अपयशी ठरते, एकतर बंधनाशिवाय वाढते किंवा कायमचे दोलन करते.
दोन्ही प्रणाली द्विमितीय समतलातील स्थाने निश्चित करण्याचा प्राथमिक उद्देश पूर्ण करतात, परंतु त्या वेगवेगळ्या भौमितिक तत्वज्ञानातून या कार्याकडे जातात. कार्टेशियन निर्देशांक क्षैतिज आणि उभ्या अंतरांच्या कठोर ग्रिडवर अवलंबून असतात, तर ध्रुवीय निर्देशांक मध्यवर्ती स्थिर बिंदूपासून थेट अंतर आणि कोनावर लक्ष केंद्रित करतात.
