जरी डेटा शास्त्रज्ञांना डायमेन्शनॅलिटी रिडक्शनमध्ये या दोन्ही संज्ञा वारंवार आढळत असल्या तरी, प्रिन्सिपल कंपोनंट्स डेटासेटमधील सर्वाधिक फरकाच्या दिशांचे वर्णन करतात, तर सिंग्युलर व्हॅल्यूज मॅट्रिक्स डीकंपोझिशन दरम्यान त्या भौमितिक अक्षांवर होणाऱ्या स्केलिंगचे प्रमाण मोजतात. PCA आणि SVD सारख्या अल्गोरिदममध्ये प्राविण्य मिळवण्यासाठी त्यांच्यातील गणितीय दुवा समजून घेणे आवश्यक आहे.
सर्वाधिक विचलनाच्या दिशेने निर्देशित करणारे लंब सदिश, उच्च-मितीय डेटाचे सरलीकरण आणि संक्षेपीकरण करण्यास मदत करतात.
सिंग्युलर व्हॅल्यू मॅट्रिक्समधील कर्णावरील नोंदी, ज्या रेषीय रूपांतरणाचे निरपेक्ष स्केलिंग घटक दर्शवतात.
| वैशिष्ट्ये | मुख्य घटक | एकवचनी मूल्ये |
|---|---|---|
| गणितीय मूळ | सहप्रसरण मॅट्रिक्स आयगेनव्हेक्टर | मॅट्रिक्स डीकंपोझिशन (SVD) घटक |
| भूमितीय अर्थ लावणे | कमाल विचलनाच्या दिशा | मुख्य अक्षांच्या लांबीचे मापन |
| डेटा आवश्यकता | सांख्यिकीय अर्थासाठी मध्य-केंद्रित डेटा आवश्यक आहे | कोणत्याही आयताकृती किंवा चौरस मॅट्रिक्सला लागू होते |
| आयगेनव्हॅल्यूजशी संबंध | सहप्रसरण मॅट्रिक्सच्या आयगेनव्हॅल्यूजच्या समान | मॅट्रिक्स गुणाकाराच्या आयगेनव्हॅल्यूच्या वर्गमूळांच्या समान |
| प्राथमिक अर्ज | आयामी घट आणि वैशिष्ट्य निष्कर्षण | मॅट्रिक्स इन्व्हर्जन, स्यूडो-इन्व्हर्स कॅल्क्युलेशन आणि लो-रँक ॲप्रोक्झिमेशन |
| स्केल अवलंबित्व | डेटा हलवल्याने किंवा त्याचे प्रमाण बदलल्याने लक्षणीय बदल झाला. | विघटन होत असलेल्या विशिष्ट मॅट्रिक्सचा अंगभूत गुणधर्म |
| शारीरिक अर्थ लावणे | डेटा क्लाउड लंबवर्तुळाचे अक्ष | रूपांतरित एकक गोलाचे ताणण्याचे घटक |
प्रिन्सिपल कंपोनंट्स त्या विशिष्ट दिशा दर्शवतात जिथे डेटा सर्वात जास्त बदलतो आणि ते एका ऑप्टिमाइझ्ड कोऑर्डिनेट सिस्टीमसाठी नवीन अक्ष म्हणून काम करतात. याउलट, सिंग्युलर व्हॅल्यूज ह्या स्केलर राशी आहेत, ज्या हे उघड करतात की एखादा मॅट्रिक्स त्या अक्षांवर अवकाशाला किती ताणतो किंवा संकुचित करतो. एकीकडे एक डेटा क्लाउडची दिशा दर्शवते, तर दुसरीकडे ते प्रत्यक्ष परिवर्तनाचे प्रमाण मोजते.
पारंपरिकरित्या मुख्य घटक शोधण्यासाठी, तुम्हाला डेटासेटच्या सहप्रसरण मॅट्रिक्सचे आयगेनव्हेक्टर मोजावे लागतात. सिंग्युलर व्हॅल्यू डीकंपोझिशनमधून सिंग्युलर व्हॅल्यूज निर्माण होतात, ज्यात कोणताही मॅट्रिक्स तीन भिन्न घटक मॅट्रिक्समध्ये विभागला जातो. जेव्हा तुम्ही सरासरी वजा करून तुमचा डेटा सेंटर करता, तेव्हा सिंग्युलर व्हॅल्यूच्या वर्गाला सॅम्पल साईज वजा एकने भागल्यावर मिळणारे उत्तर हे त्या मुख्य घटकाच्या प्रसरणाएवढे असते.
जर तुम्ही तुमच्या डेटाला माध्य-केंद्रित (mean-center) किंवा प्रमाणित (standardize) करायला विसरलात, तर मुख्य घटकांमध्ये (principal components) लक्षणीय बदल होतो, कारण सांख्यिकीय विचलन (statistical variance) हे आरंभ बिंदू (origin point) आणि चल प्रमाणांवर (variable scales) मोठ्या प्रमाणावर अवलंबून असते. तथापि, एकवचनी मूल्ये (singular values) ही दिलेल्या मूळ मॅट्रिक्सचा एक मूलभूत बीजगणितीय गुणधर्म आहेत. जोपर्यंत वापरकर्ता हेतुपुरस्सर प्रथम एक केंद्रित सहविचलन-सदृश (centered covariance-like) मॅट्रिक्स तयार करत नाही, तोपर्यंत त्यांना सांख्यिकीय गृहितकांची पर्वा नसते.
डेटा विश्लेषक जटिल, उच्च-मितीय डेटासेट साध्या द्विमितीय आलेखांवर दृश्यमान करण्यासाठी प्रिन्सिपल कंपोनंट्सवर अवलंबून असतात. दुसरीकडे, कॉम्प्युटर व्हिजन इंजिनिअर्स लो-रँक मॅट्रिक्स ॲप्रोक्झिमेशन्सद्वारे इमेज कॉम्प्रेशन आणि शिफारस प्रणालींसाठी सिंग्युलर व्हॅल्यूजचा वापर करतात. खरे तर, PCA च्या मागे SVD हे अधिक पसंतीचे संख्यात्मक इंजिन आहे, कारण सिंग्युलर व्हॅल्यूजची गणना केल्याने कोव्हेरियन्स मॅट्रिक्स तयार करताना होणारी अचूकतेची हानी टाळता येते.
मुख्य घटक आणि एकवचनी मूल्ये या पूर्णपणे स्वतंत्र संकल्पना आहेत.
डेटा सेंटरिंगद्वारे ते एकमेकांशी घट्ट जोडलेले आहेत. जेव्हा एखाद्या डेटा मॅट्रिक्समधून त्याची सरासरी वजा केली जाते, तेव्हा त्याची सिंग्युलर व्हॅल्यूज प्रिन्सिपल कंपोनंट्सवरील व्हेरिएन्सच्या वर्गमूळांशी थेट प्रमाणात असतात.
मुख्य घटक शोधण्यासाठी तुम्हाला नेहमी सहप्रसरण मॅट्रिक्सची गणना करावी लागेल.
आधुनिक सॉफ्टवेअर क्वचितच कोव्हेरियन्स मॅट्रिक्सची गणना करते, कारण त्यामुळे संख्यात्मक पूर्णांकीकरण त्रुटी निर्माण होतात. त्याऐवजी, अल्गोरिदम थेट डेटा मॅट्रिक्सवर SVD चालवतात, ज्यामुळे मुख्य घटक अधिक सुरक्षितपणे आणि कार्यक्षमतेने काढले जातात.
जर डेटा नकारात्मक सहसंबंध दर्शवत असेल, तर एकवचनी मूल्ये नकारात्मक असू शकतात.
व्याख्येनुसार, सिंग्युलर व्हॅल्यूज म्हणजे सममित मॅट्रिक्समधील आयगेनव्हॅल्यूजची धन वर्गमुळे होत. मूळ डेटामधील सहसंबंधांचा विचार न करता, त्या नेहमीच अऋणात्मक वास्तव संख्या असतात, ज्या लांबी किंवा ताणण्याचे घटक दर्शवतात.
सर्व डेटा पॉइंट्समध्ये एक स्थिर मूल्य जोडल्याने सिंग्युलर व्हॅल्यूज आणि प्रिन्सिपल कंपोनंट्समध्ये समान प्रमाणात बदल होतो.
डेटा एका स्थिर संख्येने सरकवल्याने सिंग्युलर व्हॅल्यूज बदलतात, कारण मूळ मॅट्रिक्समधील नोंदी बदलतात. तथापि, प्रिन्सिपल कंपोनंट्स कोव्हेरियन्स मॅट्रिक्सवर अवलंबून असल्यामुळे, आणि त्यामधून स्वाभाविकपणे सरासरी वजा केली जात असल्यामुळे, डेटा सरकवल्याने प्रिन्सिपल कंपोनंट्समध्ये कोणताही बदल होत नाही.
पहिला मुख्य घटक नेहमी सर्व मौल्यवान माहिती सामावून घेतो.
पहिला घटक केवळ एकाच अक्षावरील कमाल विचलन टिपतो. जर तुमचा डेटा गोलाकारपणे वितरित असेल किंवा त्यात महत्त्वपूर्ण अरेखीय नमुने असतील, तर एकच रेषीय घटक सर्वात महत्त्वाच्या संरचना पूर्णपणे चुकवू शकतो.
जेव्हा तुमचे मुख्य उद्दिष्ट प्रसरणाच्या आधारावर सांख्यिकीय डेटासेटच्या वैशिष्ट्यांचे विश्लेषण करणे, ते दृश्य स्वरूपात मांडणे किंवा कमी करणे हे असते, तेव्हा प्रिन्सिपल कंपोनंट्स निवडा. जेव्हा तुम्हाला सांख्यिकीय पूर्व-प्रक्रियेची चिंता न करता रेषीय प्रणाली सोडवायच्या असतील, मॅट्रिक्स संकुचित करायचे असतील किंवा स्थिर संख्यात्मक गणना करायची असेल, तेव्हा सिंग्युलर व्हॅल्यूजची निवड करा.
त्यांच्या गाभ्यामध्ये, अंकगणित आणि भूमितीय क्रम हे संख्यांची यादी वाढवण्याचे किंवा कमी करण्याचे दोन वेगवेगळे मार्ग आहेत. अंकगणित क्रम बेरीज किंवा वजाबाकीद्वारे स्थिर, रेषीय वेगाने बदलतो, तर भौमितिक क्रम गुणाकार किंवा भागाकाराद्वारे घातांकीय गतीने वाढतो किंवा कमी होतो.
नमुने ओळखणे हे एक मूलभूत गणितीय कौशल्य आहे, परंतु तुम्ही संख्या हाताळता की आकार, यावर अवलंबून त्याची पद्धत लक्षणीयरीत्या बदलते. अंकगणितीय श्रेण्या सलग पदांमधील एका निश्चित, अपरिवर्तनीय संख्यात्मक फरकावर अवलंबून असतात, तर दृश्य अनुक्रमांमध्ये बदलणारे भौमितिक गुणधर्म, रंग किंवा मांडणी यांचा उपयोग केला जातो. या दोन्ही गोष्टी समजून घेतल्याने अमूर्त बीजगणितीय सूत्रे आणि सहज अवकाशीय तर्क यांच्यातील दरी सांधण्यास मदत होते.
अंकगणित सरासरी प्रत्येक डेटा पॉइंटला अंतिम सरासरीमध्ये समान योगदानकर्ता मानते, तर भारित सरासरी वेगवेगळ्या मूल्यांना विशिष्ट पातळीचे महत्त्व देते. साध्या वर्ग सरासरीची गणना करण्यापासून ते जटिल आर्थिक पोर्टफोलिओ निश्चित करण्यापर्यंत जिथे काही मालमत्ता इतरांपेक्षा अधिक महत्त्वाच्या असतात अशा प्रत्येक गोष्टीसाठी हा फरक समजून घेणे महत्त्वाचे आहे.
क्रम विश्लेषण हे मांडणीचे प्रमाण ठरवण्यासाठी आणि क्रमबद्ध डेटामधून अचूक मापदंड काढण्यासाठी अल्गोरिथमिक, गणितीय आणि सांख्यिकीय सूत्रांवर अवलंबून असते, तर पॅटर्न व्हिज्युअलायझेशन या जटिल डेटा प्रवाहांचे सहज समजणाऱ्या अवकाशीय मांडणीमध्ये रूपांतर करते, ज्यामुळे लक्ष संख्यात्मक गणनेवरून जलद मानवी पॅटर्न ओळखण्याकडे वळते.
अमूर्त संख्या परिमाणांना औपचारिक नियम आणि बीजगणितीय समीकरणांद्वारे नियंत्रित शुद्ध सांकेतिक तर्कशास्त्र म्हणून मानतात, तर भूमितीय अर्थ त्याच मूल्यांना मूर्त आकार, रेषा आणि अवकाशीय मितींमध्ये रूपांतरित करतात. एकत्रितपणे, हे दोन दृष्टिकोन गणितामध्ये एक दुहेरी भाषा तयार करतात, जी निरस सांकेतिक कार्यक्षमता आणि सहज दृश्य आकलन यांच्यात संतुलन साधते.
