प्राइम फॅक्टराइजेशन हे एका संमिश्र संख्येचे मूळ संख्यांच्या मूलभूत बिल्डिंग ब्लॉक्समध्ये विभाजन करण्याचे गणितीय ध्येय आहे, तर फॅक्टर ट्री हे एक दृश्यमान, शाखात्मक साधन आहे जे ते परिणाम साध्य करण्यासाठी वापरले जाते. एक अंतिम संख्यात्मक अभिव्यक्ती आहे, तर दुसरी ती उलगडण्यासाठी वापरली जाणारी चरण-दर-चरण रोडमॅप आहे.
संख्येला त्याच्या मूळ घटकांच्या गुणाकार म्हणून व्यक्त करण्याची प्रक्रिया आणि अंतिम परिणाम.
केवळ मूळ संख्या शिल्लक राहेपर्यंत संख्येचे घटकांमध्ये विभाजन करण्यासाठी वापरलेला आकृती.
| वैशिष्ट्ये | अविभाज्य घटकीकरण | फॅक्टर ट्री |
|---|---|---|
| निसर्ग | गणितीय निकाल/ओळख | दृश्य पद्धत/प्रक्रिया |
| देखावा | गुणाकार केलेल्या संख्यांची एक स्ट्रिंग | शाखा आकृती |
| अंतिमता | संख्येचा अद्वितीय 'डीएनए' | 'डीएनए' शोधण्याचा मार्ग |
| आवश्यक साधने | गुणाकार/घातांक | कागद/रेखाचित्र आणि विभागणी |
| वेगळेपणा | फक्त एकच योग्य निकाल अस्तित्वात आहे. | अनेक झाडांचे आकार शक्य आहेत. |
| सर्वोत्तम साठी | गणना आणि पुरावे | शिकणे आणि संघटन घटक |
फॅक्टर ट्रीला बांधकाम स्थळ म्हणून आणि प्राइम फॅक्टरेशनला पूर्ण झालेली इमारत म्हणून विचार करा. तुम्ही झाडाचा वापर करून मोठ्या संख्येचे पद्धतशीरपणे लहान जोड्यांमध्ये विभाजन करता जोपर्यंत तुम्ही पुढे जाऊ शकत नाही. एकदा तळाशी असलेली सर्व 'पाने' प्राइम झाली की, तुम्ही अधिकृत प्राइम फॅक्टरेशन लिहिण्यासाठी त्यांना गोळा करता.
घटक वृक्ष एक अवकाशीय नकाशा प्रदान करतो जो तुम्हाला दीर्घ भागाकारांदरम्यान संख्यांचा मागोवा गमावण्यापासून रोखण्यास मदत करतो. प्रत्येक शाखेच्या टोकांना असलेल्या मूळ संख्यांना वर्तुळाकार करून, तुम्ही अंतिम गुणाकार स्ट्रिंग संश्लेषित करताना मूळ संख्येचा प्रत्येक भाग मोजला गेला आहे याची खात्री करता.
६० चे मूळ गुणन नेहमीच २² × ३ × ५ असते, परंतु तेथे पोहोचण्यासाठी वापरलेला घटक वृक्ष प्रत्येकासाठी वेगळा दिसू शकतो. एक व्यक्ती ६ × १० ने सुरुवात करू शकते, तर दुसरी २ × ३० ने सुरुवात करू शकते. दोन्ही मार्ग बरोबर आहेत आणि अखेरीस तळाशी असलेल्या मूळ 'बियाण्यांच्या' समान संचापर्यंत जातील.
प्राइम फॅक्टराइजेशन हे फक्त एक वर्गातील व्यायामापेक्षा जास्त आहे; ते RSA एन्क्रिप्शनचा कणा आहे, जे तुमची क्रेडिट कार्ड माहिती ऑनलाइन सुरक्षित करते. व्यावसायिक संगणनात फॅक्टर ट्री क्वचितच वापरली जातात; त्याऐवजी, डेव्हलपर जटिल अल्गोरिदम वापरतात जेणेकरून मोठ्या संख्येसाठी हे प्राइम फॅक्टर शोधता येतील जे ट्री म्हणून काढणे अशक्य होईल.
दिलेल्या कोणत्याही संख्येसाठी फक्त एकच योग्य घटक वृक्ष आहे.
घटक जोड्या जितक्या आहेत तितक्याच घटक वृक्ष आहेत. जोपर्यंत प्रत्येक शाखा त्याच्या वरील संख्येने गुणाकार करते तोपर्यंत प्रारंभ बिंदू काही फरक पडत नाही; तुम्हाला नेहमीच समान मूळ घटक मिळतील.
१ हा एक प्रमुख घटक आहे.
१ हा मूळ किंवा संमिश्र नाही. फॅक्टर ट्रीमध्ये १ समाविष्ट केल्याने एक अनंत लूप तयार होईल जो कधीही संपणार नाही, म्हणून आपण फॅक्टरेशन दरम्यान त्याकडे दुर्लक्ष करतो.
प्राइम फॅक्टराइजेशन ही फक्त सर्व घटकांची यादी आहे.
ही विशेषतः मूळ संख्यांची यादी आहे जी एकूण संख्येने गुणाकार करतात. ६ किंवा ८ सारखे घटक संयुक्त असतात आणि मूळ घटकीकरणाचा भाग होण्यासाठी त्यांचे आणखी विभाजन करणे आवश्यक आहे.
घटक वृक्ष हे मूळ घटक शोधण्याचा एकमेव मार्ग आहे.
तुम्ही 'शिडी आकृत्या' किंवा पुनरावृत्ती विभागणी देखील वापरू शकता. फॅक्टर ट्री ही शाळांमध्ये शिकवली जाणारी सर्वात सामान्य दृश्य पद्धत आहे.
जटिल संख्येचे दृश्यमानपणे विभाजन करण्यासाठी अध्यापन किंवा संघटनात्मक साधन म्हणून घटक वृक्ष वापरा. समीकरणे, अपूर्णांकांचे सरलीकरण किंवा सामान्य भाजक शोधण्यासाठी औपचारिक गणितीय विधान म्हणून मूळ घटकीकरणावर अवलंबून रहा.
त्यांच्या गाभ्यामध्ये, अंकगणित आणि भूमितीय क्रम हे संख्यांची यादी वाढवण्याचे किंवा कमी करण्याचे दोन वेगवेगळे मार्ग आहेत. अंकगणित क्रम बेरीज किंवा वजाबाकीद्वारे स्थिर, रेषीय वेगाने बदलतो, तर भौमितिक क्रम गुणाकार किंवा भागाकाराद्वारे घातांकीय गतीने वाढतो किंवा कमी होतो.
अंकगणित सरासरी प्रत्येक डेटा पॉइंटला अंतिम सरासरीमध्ये समान योगदानकर्ता मानते, तर भारित सरासरी वेगवेगळ्या मूल्यांना विशिष्ट पातळीचे महत्त्व देते. साध्या वर्ग सरासरीची गणना करण्यापासून ते जटिल आर्थिक पोर्टफोलिओ निश्चित करण्यापर्यंत जिथे काही मालमत्ता इतरांपेक्षा अधिक महत्त्वाच्या असतात अशा प्रत्येक गोष्टीसाठी हा फरक समजून घेणे महत्त्वाचे आहे.
दोन्ही संज्ञा दोन संचांमधील घटकांचे मॅपिंग कसे केले जाते याचे वर्णन करतात, परंतु ते समीकरणाच्या वेगवेगळ्या बाजूंना संबोधित करतात. एक-ते-एक (इंजेक्टिव्ह) फंक्शन्स इनपुटच्या विशिष्टतेवर लक्ष केंद्रित करतात, हे सुनिश्चित करतात की कोणतेही दोन मार्ग एकाच गंतव्यस्थानाकडे जात नाहीत, तर (सर्जेक्टिव्ह) फंक्शन्स प्रत्येक संभाव्य गंतव्यस्थान प्रत्यक्षात पोहोचले आहे याची खात्री करतात.
अभिसरण आणि भिन्न श्रेणीतील फरक हे ठरवतो की संख्यांची अनंत बेरीज विशिष्ट, मर्यादित मूल्यात स्थिर होते की अनंताकडे जाते. एक अभिसरण श्रेणी हळूहळू त्यांच्या पदांना 'संकुचित' करते जोपर्यंत त्यांची एकूण संख्या स्थिर मर्यादेपर्यंत पोहोचत नाही, परंतु भिन्न श्रेणी स्थिर होण्यास अपयशी ठरते, एकतर बंधनाशिवाय वाढते किंवा कायमचे दोलन करते.
दोन्ही प्रणाली द्विमितीय समतलातील स्थाने निश्चित करण्याचा प्राथमिक उद्देश पूर्ण करतात, परंतु त्या वेगवेगळ्या भौमितिक तत्वज्ञानातून या कार्याकडे जातात. कार्टेशियन निर्देशांक क्षैतिज आणि उभ्या अंतरांच्या कठोर ग्रिडवर अवलंबून असतात, तर ध्रुवीय निर्देशांक मध्यवर्ती स्थिर बिंदूपासून थेट अंतर आणि कोनावर लक्ष केंद्रित करतात.
