संयोजनशास्त्राच्या क्षेत्रात, 'क्रमपरिवर्तन' आणि 'व्यवस्था' हे सहसा अशा वस्तूंच्या संचाच्या विशिष्ट क्रमाचे वर्णन करण्यासाठी परस्पर बदलण्यायोग्य वापरले जातात जिथे क्रम महत्त्वाचा असतो. क्रमपरिवर्तन ही घटकांच्या क्रमवारीची औपचारिक गणितीय क्रिया असते, तर व्यवस्था ही त्या प्रक्रियेचा भौतिक किंवा संकल्पनात्मक परिणाम असते, जी त्यांना साध्या संयोजनांपासून वेगळे करते जिथे क्रम अप्रासंगिक असतो.
एक गणितीय तंत्र जे संच किती प्रकारे क्रमवारी लावता येईल हे ठरवते.
एका परिभाषित जागेत किंवा अनुक्रमात घटकांचे विशिष्ट स्थानिकीकृत लेआउट किंवा कॉन्फिगरेशन.
| वैशिष्ट्ये | क्रमपरिवर्तन | व्यवस्था |
|---|---|---|
| प्राथमिक व्याख्या | क्रम लावण्याची गणितीय प्रक्रिया | परिणामी ऑर्डर केलेले कॉन्फिगरेशन |
| ऑर्डरची भूमिका | गंभीर (क्रम मूल्य परिभाषित करतो) | गंभीर (क्रम लेआउट परिभाषित करतो) |
| वापराचा संदर्भ | औपचारिक संभाव्यता आणि मोजणी सिद्धांत | उपयोजित समस्या आणि वर्णनात्मक परिस्थिती |
| गणितीय व्याप्ती | अमूर्त संच सिद्धांत | दृश्यमान किंवा अवकाशीय संरचना |
| उदाहरण नोटेशन | नाही! / (नाही)! | दृश्य क्रम (ABC) |
| सामान्य बंधन | वेगळे विरुद्ध वेगळे नसलेले आयटम | रेषीय विरुद्ध वर्तुळाकार सीमा |
क्रमपरिवर्तन म्हणजे पडद्यामागील गणित आणि स्टेजवर दिसणारी व्यवस्था म्हणजे मांडणी. क्रमपरिवर्तन म्हणजे सहा लोकांना बसण्यासाठी ७२० मार्ग आहेत हे शोधण्यासाठी आपण केलेली गणना. व्यवस्था म्हणजे कार्यक्रमासाठी तुम्ही प्रिंट केलेला विशिष्ट आसन चार्ट. गणित त्यांना जवळजवळ एकसारखे मानते, परंतु मांडणीमध्ये एक अवकाशीय संदर्भ असतो जो कच्च्या संख्येत नसतो.
रेषीय क्रमपरिवर्तनात, प्रत्येक स्थान अद्वितीय असते (पहिले, दुसरे, तिसरे). तथापि, वर्तुळाकार मांडणीत, स्थाने सापेक्ष असतात; जर गोल टेबलावरील प्रत्येकाने एक जागा डावीकडे हलवली, तर व्यवस्था बहुतेकदा सारखीच मानली जाते कारण शेजारी बदललेले नाहीत. येथेच 'व्यवस्था' हा शब्द बहुतेकदा मानक क्रमपरिवर्तन सूत्रापेक्षा अधिक विशिष्ट भौमितिक नियमांचा वापर करतो.
'MISSISSIPPI' या शब्दाशी व्यवहार करताना, क्रमपरिवर्तन आपल्याला पुनरावृत्ती झालेल्या अक्षरे असूनही आपण किती अद्वितीय स्ट्रिंग बनवू शकतो हे मोजण्यास मदत करते. 'व्यवस्था' हे खरे शब्द आहेत. जर तुम्ही दोन समान 'S' वर्णांची अदलाबदल केली तर क्रमपरिवर्तन गणिताने हे लक्षात घेतले पाहिजे जेणेकरून तुम्ही दुहेरी गणना करू नये, कारण भौतिक व्यवस्था उघड्या डोळ्यांना अगदी सारखीच दिसेल.
दोन्ही संकल्पना 'संयोजनांच्या' विरुद्ध आहेत. एकत्रितपणे, दोन लोकांची (बॉब आणि अॅलिस) टीम निवडणे ही एक घटना आहे. क्रमपरिवर्तन आणि व्यवस्था दोन्हीमध्ये, बॉब-तेव्हा-अॅलिस आणि अॅलिस-तेव्हा-बॉब ही दोन पूर्णपणे भिन्न परिस्थिती आहेत. हा फरक कोड-ब्रेकिंग, वेळापत्रक तयार करणे आणि स्ट्रक्चरल डिझाइनचा पाया आहे.
क्रमपरिवर्तन आणि संयोजन हे एकच गोष्ट आहे.
ही आकडेवारीतील सर्वात सामान्य चूक आहे. संयोजने क्रमाकडे दुर्लक्ष करतात (जसे की फळांचे सॅलड), तर क्रमपरिवर्तन/व्यवस्था पूर्णपणे ऑर्डरवर अवलंबून असतात (जसे की फोन नंबर).
'कम्बिनेशन लॉक' हे नाव बरोबर दिले आहे.
खरंतर, कॉम्बिनेशन लॉकला 'परम्युटेशन लॉक' म्हटलं पाहिजे. जर तुमचा कोड १-२-३ असेल आणि तुम्ही ३-२-१ एंटर केला तर तो उघडणार नाही, म्हणजेच ऑर्डर महत्त्वाचा असतो—परम्युटेशनचे हे एक वैशिष्ट्य आहे.
व्यवस्था फक्त सरळ रेषेत होतात.
व्यवस्था वर्तुळाकार, ग्रिड-आधारित किंवा अगदी त्रिमितीय असू शकते. भरल्या जाणाऱ्या जागेच्या आकारानुसार गणित लक्षणीयरीत्या बदलते.
प्रत्येक ऑर्डरिंग समस्येसाठी तुम्ही नेहमीच nPr सूत्र वापरता.
जर तुम्ही आयटमची पुनरावृत्ती करत नसाल तरच मानक nPr सूत्र काम करते. जर तुम्ही समान संख्या दोनदा वापरू शकत असाल (जसे की पिन कोड), तर तुम्ही क्रमपरिवर्तनांऐवजी पॉवर्स (n^r) वापरता.
औपचारिक गणितीय पुराव्यांवर काम करताना किंवा एकूण शक्यतांची संख्या मोजताना 'क्रमचय' वापरा. विशिष्ट भौतिक मांडणीचे वर्णन करताना किंवा विशिष्ट ठिकाणी वास्तविक जगातील वस्तूंशी संबंधित शब्द समस्या सोडवताना 'व्यवस्था' वापरा.
त्यांच्या गाभ्यामध्ये, अंकगणित आणि भूमितीय क्रम हे संख्यांची यादी वाढवण्याचे किंवा कमी करण्याचे दोन वेगवेगळे मार्ग आहेत. अंकगणित क्रम बेरीज किंवा वजाबाकीद्वारे स्थिर, रेषीय वेगाने बदलतो, तर भौमितिक क्रम गुणाकार किंवा भागाकाराद्वारे घातांकीय गतीने वाढतो किंवा कमी होतो.
अंकगणित सरासरी प्रत्येक डेटा पॉइंटला अंतिम सरासरीमध्ये समान योगदानकर्ता मानते, तर भारित सरासरी वेगवेगळ्या मूल्यांना विशिष्ट पातळीचे महत्त्व देते. साध्या वर्ग सरासरीची गणना करण्यापासून ते जटिल आर्थिक पोर्टफोलिओ निश्चित करण्यापर्यंत जिथे काही मालमत्ता इतरांपेक्षा अधिक महत्त्वाच्या असतात अशा प्रत्येक गोष्टीसाठी हा फरक समजून घेणे महत्त्वाचे आहे.
दोन्ही संज्ञा दोन संचांमधील घटकांचे मॅपिंग कसे केले जाते याचे वर्णन करतात, परंतु ते समीकरणाच्या वेगवेगळ्या बाजूंना संबोधित करतात. एक-ते-एक (इंजेक्टिव्ह) फंक्शन्स इनपुटच्या विशिष्टतेवर लक्ष केंद्रित करतात, हे सुनिश्चित करतात की कोणतेही दोन मार्ग एकाच गंतव्यस्थानाकडे जात नाहीत, तर (सर्जेक्टिव्ह) फंक्शन्स प्रत्येक संभाव्य गंतव्यस्थान प्रत्यक्षात पोहोचले आहे याची खात्री करतात.
अभिसरण आणि भिन्न श्रेणीतील फरक हे ठरवतो की संख्यांची अनंत बेरीज विशिष्ट, मर्यादित मूल्यात स्थिर होते की अनंताकडे जाते. एक अभिसरण श्रेणी हळूहळू त्यांच्या पदांना 'संकुचित' करते जोपर्यंत त्यांची एकूण संख्या स्थिर मर्यादेपर्यंत पोहोचत नाही, परंतु भिन्न श्रेणी स्थिर होण्यास अपयशी ठरते, एकतर बंधनाशिवाय वाढते किंवा कायमचे दोलन करते.
दोन्ही प्रणाली द्विमितीय समतलातील स्थाने निश्चित करण्याचा प्राथमिक उद्देश पूर्ण करतात, परंतु त्या वेगवेगळ्या भौमितिक तत्वज्ञानातून या कार्याकडे जातात. कार्टेशियन निर्देशांक क्षैतिज आणि उभ्या अंतरांच्या कठोर ग्रिडवर अवलंबून असतात, तर ध्रुवीय निर्देशांक मध्यवर्ती स्थिर बिंदूपासून थेट अंतर आणि कोनावर लक्ष केंद्रित करतात.
