रेषीय बीजगणितात ते जवळून जोडलेले असले तरी, मॅट्रिक्स आणि निर्धारक पूर्णपणे भिन्न भूमिका बजावतात. मॅट्रिक्स डेटासाठी संरचित कंटेनर किंवा परिवर्तनासाठी ब्लूप्रिंट म्हणून काम करतो, तर निर्धारक हे एकल, गणना केलेले मूल्य असते जे त्या विशिष्ट मॅट्रिक्सचा 'स्केलिंग फॅक्टर' आणि इन्व्हर्टेबिलिटी प्रकट करते.
पंक्ती आणि स्तंभांमध्ये मांडलेल्या संख्या, चिन्हे किंवा अभिव्यक्तींचा आयताकृती संच.
चौरस मॅट्रिक्सच्या घटकांपासून मिळवलेले स्केलर मूल्य.
| वैशिष्ट्ये | मॅट्रिक्स | निर्धारक |
|---|---|---|
| निसर्ग | रचना किंवा संग्रह | एक विशिष्ट संख्यात्मक मूल्य |
| आकार मर्यादा | आयताकृती किंवा चौरस असू शकते | चौरस असणे आवश्यक आहे (nxn) |
| नोटेशन | [ ] किंवा ( ) | | | किंवा det(A) |
| प्राथमिक वापर | प्रणाली आणि नकाशे यांचे प्रतिनिधित्व करणे | इन्व्हर्टिबिलिटी आणि व्हॉल्यूम चाचणी करणे |
| गणितीय निकाल | अनेक मूल्यांचा संच | एकच स्केलर संख्या |
| व्यस्त संबंध | व्यस्त असू शकतो किंवा नसू शकतो | व्यस्त गणना करण्यासाठी वापरले जाते |
मॅट्रिक्स म्हणजे डिजिटल स्प्रेडशीट किंवा अवकाशातील बिंदू हलविण्यासाठीच्या सूचनांची यादी असा विचार करा. त्यात प्रणालीबद्दलची सर्व माहिती असते. तथापि, निर्धारक हा त्या प्रणालीचा एक वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्म आहे. तो त्या सर्व संख्यांमधील जटिल संबंधांना एकाच आकृतीमध्ये संकुचित करतो जो मॅट्रिक्सच्या वर्तनाचा 'सार' वर्णन करतो.
जर तुम्ही आलेखावर चौरसाचे रूपांतर करण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरला तर निर्धारक तुम्हाला त्या चौरसाचे क्षेत्रफळ कसे बदलते ते सांगतो. जर निर्धारक २ असेल तर क्षेत्रफळ दुप्पट होते; जर ते ०.५ असेल तर ते अर्ध्याने कमी होते. सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे, जर निर्धारक ० असेल तर मॅट्रिक्स आकाराला एका रेषेत किंवा बिंदूमध्ये सपाट करतो, प्रभावीपणे एका परिमाणाचे अस्तित्व 'चिरडतो'.
मोठ्या समीकरणांच्या प्रणाली लिहिण्याचा मानक मार्ग म्हणजे मॅट्रिक्स, जेणेकरून त्या हाताळणे सोपे होईल. निर्धारक हे या प्रणालींसाठी 'गेटकीपर' असतात. निर्धारकाची गणना करून, गणितज्ञांना समीकरणे सोडवण्याचे पूर्ण काम न करता, प्रणालीमध्ये एक अद्वितीय उपाय आहे की तो सोडवता येत नाही हे लगेच कळू शकते.
प्रत्येकासाठी ऑपरेशन्स वेगवेगळ्या प्रकारे काम करतात. जेव्हा तुम्ही दोन मॅट्रिक्सचा गुणाकार करता तेव्हा तुम्हाला पूर्णपणे भिन्न नोंदींसह एक नवीन मॅट्रिक्स मिळते. जेव्हा तुम्ही दोन मॅट्रिक्सच्या निर्धारकांचा गुणाकार करता तेव्हा तुम्हाला गुणाकार मॅट्रिक्सच्या निर्धारकासारखाच परिणाम मिळतो. हा सुंदर संबंध ($det(AB) = det(A)det(B)$) हा प्रगत रेषीय बीजगणिताचा आधारस्तंभ आहे.
कोणत्याही मॅट्रिक्सचा निर्धारक शोधता येतो.
नवशिक्यांसाठी हा गोंधळाचा नेहमीचा मुद्दा आहे. चौरस नसलेल्या कोणत्याही मॅट्रिक्ससाठी निर्धारक गणितीयदृष्ट्या अपरिभाषित असतात. जर तुमच्याकडे 2x3 मॅट्रिक्स असेल, तर त्यासाठी निर्धारकाची संकल्पना अस्तित्वात नाही.
ऋण निर्धारक म्हणजे क्षेत्र ऋण आहे.
क्षेत्रफळ ऋण असू शकत नसल्यामुळे, निरपेक्ष मूल्य म्हणजे क्षेत्रफळ. ऋण चिन्ह प्रत्यक्षात 'फ्लिप' किंवा अभिमुखतेतील बदल दर्शवते—जसे की आरशात प्रतिमा पाहणे.
मॅट्रिक्स आणि निर्धारक समान कंस वापरतात.
जरी ते सारखे दिसत असले तरी, नोटेशन कडक आहे. चौरस किंवा वक्र कंस $[ ]$ हे मॅट्रिक्स (एक संग्रह) दर्शवतात, तर सरळ उभ्या पट्ट्या $| |$ हे निर्धारक (एक गणना) दर्शवतात. औपचारिक गणितात त्यांचे मिश्रण करणे ही एक मोठी चूक आहे.
मॅट्रिक्स हा फक्त एक निर्धारक लिहिण्याचा एक मार्ग आहे.
अगदी उलट. मॅट्रिक्स ही एक मूलभूत गणितीय अस्तित्व आहे जी गुगलच्या सर्च अल्गोरिथमपासून ते 3D गेमिंगपर्यंत सर्व गोष्टींमध्ये वापरली जाते. निर्धारक हा त्याच्यापासून आपण काढू शकणाऱ्या अनेक गुणधर्मांपैकी एक आहे.
जेव्हा तुम्हाला डेटा साठवायचा असेल, रूपांतरणाचे प्रतिनिधित्व करायचे असेल किंवा समीकरणांची प्रणाली व्यवस्थित करायची असेल तेव्हा मॅट्रिक्स वापरा. जेव्हा तुम्हाला मॅट्रिक्स उलट करता येतो का ते तपासायचे असेल किंवा रूपांतरण जागेचे मोजमाप कसे करते हे समजून घ्यायचे असेल तेव्हा निर्धारकाची गणना करा.
त्यांच्या गाभ्यामध्ये, अंकगणित आणि भूमितीय क्रम हे संख्यांची यादी वाढवण्याचे किंवा कमी करण्याचे दोन वेगवेगळे मार्ग आहेत. अंकगणित क्रम बेरीज किंवा वजाबाकीद्वारे स्थिर, रेषीय वेगाने बदलतो, तर भौमितिक क्रम गुणाकार किंवा भागाकाराद्वारे घातांकीय गतीने वाढतो किंवा कमी होतो.
अंकगणित सरासरी प्रत्येक डेटा पॉइंटला अंतिम सरासरीमध्ये समान योगदानकर्ता मानते, तर भारित सरासरी वेगवेगळ्या मूल्यांना विशिष्ट पातळीचे महत्त्व देते. साध्या वर्ग सरासरीची गणना करण्यापासून ते जटिल आर्थिक पोर्टफोलिओ निश्चित करण्यापर्यंत जिथे काही मालमत्ता इतरांपेक्षा अधिक महत्त्वाच्या असतात अशा प्रत्येक गोष्टीसाठी हा फरक समजून घेणे महत्त्वाचे आहे.
दोन्ही संज्ञा दोन संचांमधील घटकांचे मॅपिंग कसे केले जाते याचे वर्णन करतात, परंतु ते समीकरणाच्या वेगवेगळ्या बाजूंना संबोधित करतात. एक-ते-एक (इंजेक्टिव्ह) फंक्शन्स इनपुटच्या विशिष्टतेवर लक्ष केंद्रित करतात, हे सुनिश्चित करतात की कोणतेही दोन मार्ग एकाच गंतव्यस्थानाकडे जात नाहीत, तर (सर्जेक्टिव्ह) फंक्शन्स प्रत्येक संभाव्य गंतव्यस्थान प्रत्यक्षात पोहोचले आहे याची खात्री करतात.
अभिसरण आणि भिन्न श्रेणीतील फरक हे ठरवतो की संख्यांची अनंत बेरीज विशिष्ट, मर्यादित मूल्यात स्थिर होते की अनंताकडे जाते. एक अभिसरण श्रेणी हळूहळू त्यांच्या पदांना 'संकुचित' करते जोपर्यंत त्यांची एकूण संख्या स्थिर मर्यादेपर्यंत पोहोचत नाही, परंतु भिन्न श्रेणी स्थिर होण्यास अपयशी ठरते, एकतर बंधनाशिवाय वाढते किंवा कायमचे दोलन करते.
दोन्ही प्रणाली द्विमितीय समतलातील स्थाने निश्चित करण्याचा प्राथमिक उद्देश पूर्ण करतात, परंतु त्या वेगवेगळ्या भौमितिक तत्वज्ञानातून या कार्याकडे जातात. कार्टेशियन निर्देशांक क्षैतिज आणि उभ्या अंतरांच्या कठोर ग्रिडवर अवलंबून असतात, तर ध्रुवीय निर्देशांक मध्यवर्ती स्थिर बिंदूपासून थेट अंतर आणि कोनावर लक्ष केंद्रित करतात.
