मिथ
शून्याचा लॉगॅरिथम शून्य आहे.
वास्तव
शून्याचा लॉगॅरिथम प्रत्यक्षात अनिश्चित आहे. अशी कोणतीही शक्ती नाही ज्याचा सकारात्मक आधार तुम्ही अगदी शून्यावर आणू शकता; तुम्ही फक्त अमर्याद जवळ जाऊ शकता.
बीजगणितकॅल्क्युलसकार्येगणित
लॉगरिदम विरुद्ध घातांक
लॉगरिदम आणि घातांक हे व्यस्त गणितीय क्रिया आहेत जे वेगवेगळ्या दृष्टिकोनातून समान कार्यात्मक संबंधांचे वर्णन करतात. एक घातांक तुम्हाला एका विशिष्ट घातापर्यंत बेस वाढवण्याचा परिणाम सांगतो, तर लॉगरिदम लक्ष्य मूल्यापर्यंत पोहोचण्यासाठी आवश्यक असलेली घात शोधण्यासाठी मागे वळून काम करतो, गुणाकार आणि बेरीज यांच्यातील गणितीय पूल म्हणून काम करतो.
ठळक मुद्दे
- घातांक पुनरावृत्ती गुणाकार दर्शवितात; लॉगरिथम मूळ शोधण्यासाठी 'पुनरावृत्ती भागाकार' दर्शवितात.
- जिथे चल घातांकात अडकलेला असतो तिथे समीकरणे सोडवण्यासाठी लॉगरिदम ही गुरुकिल्ली असते.
- नैसर्गिक लॉगॅरिथम (ln) हा e (अंदाजे 2.718) या संख्येवर आधारित आहे, जो भौतिकशास्त्र आणि वित्तशास्त्रासाठी आवश्यक आहे.
- आलेखावर, दोन्ही फंक्शन्स y = x या कर्णरेषेवर एकमेकांचे परिपूर्ण प्रतिबिंब आहेत.
घातांक काय आहे?
एका आधार संख्येला विशिष्ट संख्येने वारंवार गुणाकार करण्याची प्रक्रिया.
- पाया म्हणजे गुणाकार होणारी संख्या आणि घातांक म्हणजे गुणाकारांची संख्या.
- शून्याच्या घातापर्यंत वाढवलेला कोणताही शून्य नसलेला पाया नेहमीच एक असतो.
- ऋण घातांक त्या घातापर्यंत वाढलेल्या पायाचा परस्परसंबंध दर्शवतात.
- घातांकीय वाढ ही अशा मूल्यांद्वारे दर्शविली जाते जी सतत वेगाने वाढत असतात.
- ही क्रिया b^x = y या स्वरूपात व्यक्त केली जाते, जिथे x हा घातांक आहे.
लॉगरिदम काय आहे?
दिलेल्या संख्येचे उत्पादन करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या घातांकाचे व्युत्क्रम कार्य.
- ते या प्रश्नाचे उत्तर देते: 'हे निकाल मिळविण्यासाठी आपण कोणत्या शक्तीने पाया वाढवला पाहिजे?'
- सामान्य लॉगरिदम बेस १० वापरतात, तर नैसर्गिक लॉगरिदम (ln) स्थिरांक e वापरतात.
- ते गुंतागुंतीच्या गुणाकार समस्यांना सोप्या बेरीज समस्यांमध्ये बदलतात.
- लॉगरिथमचा पाया नेहमी एका व्यतिरिक्त एक धन संख्या असणे आवश्यक आहे.
- ही क्रिया log_b(y) = x अशी लिहिली आहे, जी b^x = y चा थेट व्यस्त आहे.
तुलना सारणी
| वैशिष्ट्ये | घातांक | लॉगरिदम |
|---|---|---|
| मुख्य प्रश्न | या शक्तीचा परिणाम काय आहे? | कोणत्या शक्तीने हे परिणाम निर्माण केले? |
| ठराविक फॉर्म | आधार^घातांक = निकाल | लॉग_बेस(निकाल) = घातांक |
| वाढीचा नमुना | वेगाने त्वरण (उभ्या) | हळूहळू वेग कमी होत आहे (क्षैतिज) |
| डोमेन (इनपुट) | सर्व वास्तव संख्या | फक्त सकारात्मक संख्या (> ०) |
| व्यस्त संबंध | फ(एक्स) = ब^एक्स | f⁻¹(x) = लॉग_ब(x) |
| वास्तविक जगाचा स्केल | चक्रवाढ व्याज, जीवाणूंची वाढ | रिश्टर स्केल, पीएच पातळी, डेसिबल |
तपशीलवार तुलना
एकाच नाण्याच्या दोन बाजू
विरुद्ध दिशेने पाहिले तर घातांक आणि लॉगॅरिथम हे मूलतः समान संबंध आहेत. जर तुम्हाला माहित असेल की २ घन म्हणजे ८ ($२^३ = ८$), तर घातांक तुम्हाला अंतिम मूल्य सांगतो. लॉगॅरिथम ($\log_2 8 = ३$) फक्त त्याच कोड्याच्या गहाळ तुकड्यासाठी विचारतो - '३'. कारण ते व्यस्त आहेत, ते एकत्र लावल्यावर एकमेकांना 'रद्द' करतात, जसे बेरीज आणि वजाबाकी करतात.
स्केलची शक्ती
घातांकांचा वापर व्हायरसचा प्रसार किंवा निवृत्ती निधीची वाढ यासारख्या आकारात स्फोट होणाऱ्या गोष्टींचे मॉडेलिंग करण्यासाठी केला जातो. लॉगरिदम अगदी उलट करतात; ते मोठ्या, अवजड संख्येच्या श्रेणी घेतात आणि त्यांना व्यवस्थापित करण्यायोग्य स्केलमध्ये संकुचित करतात. म्हणूनच आपण भूकंप मोजण्यासाठी लॉग वापरतो; ७ रिश्टर स्केलचा भूकंप ६ रिश्टर स्केलपेक्षा दहापट जास्त शक्तिशाली असतो, परंतु लॉग स्केलमुळे त्या प्रचंड ऊर्जा फरकांबद्दल बोलणे सोपे होते.
गणितीय वर्तन
घातांकीय फंक्शनचा आलेख अनंताकडे खूप लवकर वर जातो आणि y-अक्षावर कधीही शून्यापेक्षा खाली येत नाही. उलट, लॉगरिदमिक आलेख खूप हळूहळू वाढतो आणि x-अक्षावर शून्याच्या डावीकडे कधीही ओलांडत नाही. हे हे प्रतिबिंबित करते की तुम्ही ऋण संख्येचा लॉग घेऊ शकत नाही - धन बेसला घातापर्यंत वाढवण्याचा आणि शेवटी ऋण परिणाम देण्याचा कोणताही मार्ग नाही.
संगणकीय शॉर्टकट
कॅल्क्युलेटर अस्तित्वात येण्यापूर्वी, शास्त्रज्ञांसाठी जड गणना करण्यासाठी लॉगरिथम हे प्राथमिक साधन होते. लॉगच्या नियमांमुळे, दोन मोठ्या संख्यांचा गुणाकार करणे हे त्यांचे लॉगरिथम जोडण्यासारखे आहे. या गुणधर्मामुळे खगोलशास्त्रज्ञ आणि अभियंत्यांना 'लॉग टेबल्स' मध्ये मूल्ये शोधून आणि दीर्घ-स्वरूपाच्या गुणाकाराच्या कठीण ऐवजी साधी बेरीज करून प्रचंड समीकरणे सोडवता आली.
गुण आणि दोष
घातांक
गुणदोष
- + अंतर्ज्ञानी संकल्पना
- + वाढ दृश्यमान करणे सोपे
- + साधे गणना नियम
- + निसर्गात सर्वत्र आढळते
संरक्षित केले
- − संख्या लवकर मोठी होतात
- − सत्तेसाठी सोडवणे कठीण
- − नकारात्मक आधार अवघड आहेत.
- − मॅन्युअल गणना मंद आहे.
लॉगरिदम
गुणदोष
- + मोठा डेटा संकुचित करतो
- + गुणाकार सोपे करते
- + वेळ/दर सोडवते
- + विविध स्केलचे मानकीकरण करते
संरक्षित केले
- − नवशिक्यांसाठी कमी अंतर्ज्ञानी
- − शून्य/ऋणासाठी अपरिभाषित
- − बेस स्पेसिफिकेशन आवश्यक आहे
- − सूत्र-जड नियम
सामान्य गैरसमजुती
मिथ
लॉगरिदम फक्त प्रगत शास्त्रज्ञांसाठी आहेत.
वास्तव
तुम्ही ते दररोज नकळत वापरता. संगीत नोट्स (ऑक्टेव्ह), तुमच्या लिंबाच्या रसाची आम्लता (पीएच) आणि तुमच्या स्पीकर्सचा आवाज (डेसिबल) हे सर्व लॉगरिदमिक मापन आहेत.
मिथ
ऋण घातांक निकाल ऋण बनवतो.
वास्तव
ऋण घातांकाचा निकालाच्या चिन्हाशी काहीही संबंध नाही; तो फक्त तुम्हाला संख्या अपूर्णांकात बदलण्यास सांगतो. उदाहरणार्थ, 2⁻² फक्त 1/4 आहे, जो अजूनही एक धन संख्या आहे.
मिथ
ln आणि log हे एकच आहेत.
वास्तव
ते समान नियमांचे पालन करतात, परंतु त्यांचा 'बेस' वेगळा आहे. 'लॉग' सहसा बेस १० (सामान्य लॉग) चा संदर्भ देते, तर 'ln' विशेषतः गणितीय स्थिरांक e (नैसर्गिक लॉग) वापरते.
वारंवार विचारले जाणारे प्रश्न
मी घातांकाचे लॉगरिथममध्ये रूपांतर कसे करू?
'लूप' पद्धत वापरा. $2^3 = 8$ या समीकरणात, बेस 2 आहे. ते लॉगमध्ये रूपांतरित करण्यासाठी, 'log' लिहा, बेस 2 तळाशी ठेवा, 8 आत हलवा आणि ते घातांक 3 च्या समान सेट करा. ते $\log_2(8) = 3$ होते.
तुम्ही ऋण संख्येचा लॉग का घेऊ शकत नाही?
लॉगरिदम विचारतात: 'मी हा धन आधार कोणत्या घातापर्यंत वाढवू?' जर तुम्ही १० सारखी धन संख्या कोणत्याही घातापर्यंत (धन, ऋण किंवा दशांश) वाढवली तर परिणाम नेहमीच धन राहील. म्हणून, असा कोणताही संभाव्य घातांक नाही जो कधीही ऋण परिणाम देऊ शकेल.
'नैसर्गिक लॉगरिदम' नेमके कशासाठी आहे?
नैसर्गिक लॉग (ln) मध्ये बेस e वापरला जातो, जो अंदाजे 2.718 आहे. ही संख्या अद्वितीय आहे कारण ती सतत वाढीची मर्यादा दर्शवते. जीवशास्त्र, भौतिकशास्त्र आणि उच्च-स्तरीय वित्त क्षेत्रात ती सतत वापरली जाते जिथे वाढ वर्षातून एकदा न होता प्रत्येक सेकंदाला होते.
जर लॉगरिथमचा पाया १ असेल तर काय होईल?
बेस १ असलेला लॉगॅरिथम गणितीयदृष्ट्या अशक्य किंवा 'अपरिभाषित' आहे. कोणत्याही घातावर वाढवलेला १ हा नेहमीच १ असल्याने, तुम्ही कधीही ५ किंवा १० सारखा निकाल मिळवू शकत नाही. हे अशी शिडी बांधण्याचा प्रयत्न करण्यासारखे असेल जिथे प्रत्येक पायरी अगदी समान उंचीवर असेल.
संगणक शास्त्रात लॉगरिदम वापरले जातात का?
हो, अल्गोरिथम कार्यक्षमता मोजण्यासाठी ते मूलभूत आहेत. उदाहरणार्थ, 'बायनरी सर्च' हे एक O(log n) ऑपरेशन आहे. याचा अर्थ असा की तुम्ही डेटाचे प्रमाण दुप्पट केले तरीही, संगणकाला जे शोधत आहे ते शोधण्यासाठी फक्त एक अतिरिक्त पाऊल उचलावे लागेल.
घातांक हा अपूर्णांक असू शकतो का?
हो! अपूर्णांक घातांक हा प्रत्यक्षात एक मूलगामी (मूळ) असतो. उदाहरणार्थ, एखाद्या संख्येला १/२ घातापर्यंत वाढवणे हे वर्गमूळ घेण्यासारखेच आहे आणि १/३ घात हा घनमूळ आहे.
ज्या समीकरणात 'x' हा घातांक असतो ते समीकरण कसे सोडवायचे?
हे लॉगरिथमचे प्राथमिक काम आहे. तुम्ही समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा लॉग घेता. हे लॉगसमोर घातांकाला 'खेचते', ज्यामुळे पॉवर समस्येचे निराकरण करणे खूप सोपे असलेल्या मूलभूत भागाकार समस्येत रूपांतर होते.
मूळ सूत्रातील बदल म्हणजे काय?
बहुतेक कॅल्क्युलेटरमध्ये फक्त बेस १० आणि बेस e साठी बटणे असतात. जर तुम्हाला $\log_2 7$ शोधायचे असेल, तर तुम्ही बेस सूत्र बदलू शकता: $\log(7) / \log(2)$. हे तुम्हाला तुमच्या कॅल्क्युलेटरवरील मानक बटणे वापरून कोणताही लॉगरिथम सोडवण्याची परवानगी देते.
निकाल
जेव्हा तुम्हाला वाढीचा दर आणि वेळेवर आधारित एकूण संख्या काढायची असेल तेव्हा घातांक वापरा. जेव्हा तुमच्याकडे आधीच एकूण संख्या असेल आणि तिथे पोहोचण्यासाठी लागणारा वेळ किंवा दर मोजायचा असेल तेव्हा लॉगरिदमवर स्विच करा.
संबंधित तुलना
अंकगणित विरुद्ध भौमितिक क्रम
त्यांच्या गाभ्यामध्ये, अंकगणित आणि भूमितीय क्रम हे संख्यांची यादी वाढवण्याचे किंवा कमी करण्याचे दोन वेगवेगळे मार्ग आहेत. अंकगणित क्रम बेरीज किंवा वजाबाकीद्वारे स्थिर, रेषीय वेगाने बदलतो, तर भौमितिक क्रम गुणाकार किंवा भागाकाराद्वारे घातांकीय गतीने वाढतो किंवा कमी होतो.
अंकगणितीय सरासरी विरुद्ध भारित सरासरी
अंकगणित सरासरी प्रत्येक डेटा पॉइंटला अंतिम सरासरीमध्ये समान योगदानकर्ता मानते, तर भारित सरासरी वेगवेगळ्या मूल्यांना विशिष्ट पातळीचे महत्त्व देते. साध्या वर्ग सरासरीची गणना करण्यापासून ते जटिल आर्थिक पोर्टफोलिओ निश्चित करण्यापर्यंत जिथे काही मालमत्ता इतरांपेक्षा अधिक महत्त्वाच्या असतात अशा प्रत्येक गोष्टीसाठी हा फरक समजून घेणे महत्त्वाचे आहे.
एक-ते-एक विरुद्ध ऑन्टू फंक्शन्स
दोन्ही संज्ञा दोन संचांमधील घटकांचे मॅपिंग कसे केले जाते याचे वर्णन करतात, परंतु ते समीकरणाच्या वेगवेगळ्या बाजूंना संबोधित करतात. एक-ते-एक (इंजेक्टिव्ह) फंक्शन्स इनपुटच्या विशिष्टतेवर लक्ष केंद्रित करतात, हे सुनिश्चित करतात की कोणतेही दोन मार्ग एकाच गंतव्यस्थानाकडे जात नाहीत, तर (सर्जेक्टिव्ह) फंक्शन्स प्रत्येक संभाव्य गंतव्यस्थान प्रत्यक्षात पोहोचले आहे याची खात्री करतात.
कन्व्हर्जंट विरुद्ध डायव्हर्जंट मालिका
अभिसरण आणि भिन्न श्रेणीतील फरक हे ठरवतो की संख्यांची अनंत बेरीज विशिष्ट, मर्यादित मूल्यात स्थिर होते की अनंताकडे जाते. एक अभिसरण श्रेणी हळूहळू त्यांच्या पदांना 'संकुचित' करते जोपर्यंत त्यांची एकूण संख्या स्थिर मर्यादेपर्यंत पोहोचत नाही, परंतु भिन्न श्रेणी स्थिर होण्यास अपयशी ठरते, एकतर बंधनाशिवाय वाढते किंवा कायमचे दोलन करते.
कार्टेशियन विरुद्ध ध्रुवीय निर्देशांक
दोन्ही प्रणाली द्विमितीय समतलातील स्थाने निश्चित करण्याचा प्राथमिक उद्देश पूर्ण करतात, परंतु त्या वेगवेगळ्या भौमितिक तत्वज्ञानातून या कार्याकडे जातात. कार्टेशियन निर्देशांक क्षैतिज आणि उभ्या अंतरांच्या कठोर ग्रिडवर अवलंबून असतात, तर ध्रुवीय निर्देशांक मध्यवर्ती स्थिर बिंदूपासून थेट अंतर आणि कोनावर लक्ष केंद्रित करतात.