हा तुलनात्मक लेख पूर्णांक आणि परिमेय संख्यांमधील गणितीय फरक स्पष्ट करतो, प्रत्येक संख्याप्रकार कसा परिभाषित केला जातो, व्यापक संख्या प्रणालीमध्ये त्यांचा संबंध कसा असतो आणि संख्यात्मक मूल्यांचे वर्णन करण्यासाठी कोणती वर्गवारी अधिक योग्य ठरते अशा परिस्थिती दाखवतो.
पूर्ण संख्या ज्यामध्ये ऋण संख्या, शून्य आणि धन संख्या यांचा समावेश होतो, ज्यात अपूर्णांक किंवा दशांश नसतात.
दोन पूर्णांकांच्या अपूर्णांकाच्या रूपात लिहिता येणाऱ्या संख्या ज्यांचा छेद शून्येतर आहे.
| वैशिष्ट्ये | पूर्णांक | तर्कशुद्ध |
|---|---|---|
| व्याख्या | पूर्ण संख्या भागांशिवाय | दोन पूर्णांकांचा अपूर्णांक |
| चिन्ह संच | ℤ (पूर्णांक) | ℚ (परिमेय संख्या) |
| पूर्णांक समाविष्ट आहेत का? | होय (ते पूर्णांक आहेत) | होय (सर्व पूर्णांक समाविष्ट आहेत) |
| अपूर्णांक अपूर्णांक समाविष्ट आहेत | नाही | होय |
| दशांश प्रतिनिधित्व | अपूर्णांक/दशांश भाग नाही | हे पुनरावृत्ती होऊ शकते किंवा समाप्त होऊ शकते |
| सामान्य फॉर्म्स | …,−२, −१, ०, १, २,… | a/b जेथे b ≠ 0 |
| उदाहरण | -५, ०, ७ | १/३, ४.५, -२/५ |
पूर्णांक हे कोणत्याही अपूर्ण भागाशिवाय संपूर्ण संख्या असतात, ज्यामध्ये सर्व ऋण संख्या, शून्य आणि धन संख्यांचा समावेश होतो. परिमेय संख्यांमध्ये कोणतीही अशी संख्या येते जी एका पूर्णांकाला दुसऱ्या शून्येतर पूर्णांकाने भागल्यावर मिळते, म्हणजेच परिमेय संख्यांमध्ये हर एक असल्यास पूर्णांकांचा विशेष प्रकार म्हणून समावेश होतो.
पूर्णांक संख्या परिमेय संख्यांचा उपसंच तयार करतात, म्हणजेच प्रत्येक पूर्णांक संख्या अंश आणि छेद एक असलेल्या अपूर्णांकाच्या रूपात व्यक्त करून परिमेय संख्या म्हणून पात्र ठरते. परिमेय संख्यांमध्ये अपूर्णांक असलेल्या अ-पूर्णांक संख्यांचाही समावेश होतो, ज्यामुळे संच केवळ पूर्ण मूल्यांच्या पलीकडे विस्तारतो.
पूर्णांकाला कधीही अपूर्णांक किंवा दशांश भाग नसतो, त्यामुळे त्याचे दशांश रूप लगेच संपते. परिमेय संख्या दशांश रूपात दिसू शकतात ज्या एकतर संपतात किंवा एका पॅटर्नची पुनरावृत्ती करतात, कारण एका पूर्णांकाला दुसऱ्या पूर्णांकाने भागल्यावर एक अंदाजे दशांश विस्तार मिळतो.
पूर्णांक सामान्यतः वेगळ्या मोजणीसाठी, पायऱ्यांसाठी आणि जिथे अपूर्णांक मूल्यांची गरज नसते अशा ठिकाणी वापरले जातात. परिमेय संख्या संपूर्ण भागाचे वर्णन करण्यासाठी, प्रमाण, गुणोत्तर आणि अपूर्णांक घटक असलेल्या मोजमापांसाठी उपयुक्त असतात.
पूर्णांक आणि परिमेय संख्या पूर्णपणे वेगळ्या श्रेणी आहेत.
पूर्णांक हे परिमेय संख्यांचे उपसमूह आहेत, कारण कोणताही पूर्णांक हा एकाच्या छेदासह अपूर्णांकाच्या स्वरूपात लिहिता येतो, ज्यामुळे प्रत्येक पूर्णांक हा परिमेय संख्या देखील असतो.
परिमेय संख्या फक्त अपूर्णांकच असाव्यात.
परिमेय संख्यांमध्ये अपूर्णांकांचा समावेश होतो, परंतु त्यामध्ये पूर्णांकांचाही समावेश होतो कारण पूर्णांक हा परिमेय संख्या असतो जेव्हा तो हर एक असलेल्या अपूर्णांकाच्या स्वरूपात लिहिला जातो.
परिमेय संख्या नेहमी अनंत दशांश तयार करतात.
काही परिमेय संख्यांमध्ये अनंत पुनरावृत्ती दशांश असतात, तर काही संख्यांमध्ये मर्यादित अंकांनंतर दशांश संपतात, हे भाजकावर अवलंबून असते.
पूर्णांक कोणतीही वास्तव संख्या असू शकते.
पूर्णांकांमध्ये अपूर्णांक किंवा दशांश असू शकत नाहीत; केवळ पूर्ण मूल्ये, ज्यात कोणताही अपूर्णांक घटक नाही, ती पूर्णांक म्हणून गणली जातात.
पूर्ण संख्या म्हणजे अपूर्णांक नसलेल्या संख्यांसाठी 'integer' हा शब्द निवडा. अपूर्णांक किंवा पूर्णांक गुणोत्तरांनी परिभाषित केलेल्या दशांश संख्या समाविष्ट असलेल्या संख्यांसाठी 'rational' हा शब्द वापरा.
त्यांच्या गाभ्यामध्ये, अंकगणित आणि भूमितीय क्रम हे संख्यांची यादी वाढवण्याचे किंवा कमी करण्याचे दोन वेगवेगळे मार्ग आहेत. अंकगणित क्रम बेरीज किंवा वजाबाकीद्वारे स्थिर, रेषीय वेगाने बदलतो, तर भौमितिक क्रम गुणाकार किंवा भागाकाराद्वारे घातांकीय गतीने वाढतो किंवा कमी होतो.
अंकगणित सरासरी प्रत्येक डेटा पॉइंटला अंतिम सरासरीमध्ये समान योगदानकर्ता मानते, तर भारित सरासरी वेगवेगळ्या मूल्यांना विशिष्ट पातळीचे महत्त्व देते. साध्या वर्ग सरासरीची गणना करण्यापासून ते जटिल आर्थिक पोर्टफोलिओ निश्चित करण्यापर्यंत जिथे काही मालमत्ता इतरांपेक्षा अधिक महत्त्वाच्या असतात अशा प्रत्येक गोष्टीसाठी हा फरक समजून घेणे महत्त्वाचे आहे.
दोन्ही संज्ञा दोन संचांमधील घटकांचे मॅपिंग कसे केले जाते याचे वर्णन करतात, परंतु ते समीकरणाच्या वेगवेगळ्या बाजूंना संबोधित करतात. एक-ते-एक (इंजेक्टिव्ह) फंक्शन्स इनपुटच्या विशिष्टतेवर लक्ष केंद्रित करतात, हे सुनिश्चित करतात की कोणतेही दोन मार्ग एकाच गंतव्यस्थानाकडे जात नाहीत, तर (सर्जेक्टिव्ह) फंक्शन्स प्रत्येक संभाव्य गंतव्यस्थान प्रत्यक्षात पोहोचले आहे याची खात्री करतात.
अभिसरण आणि भिन्न श्रेणीतील फरक हे ठरवतो की संख्यांची अनंत बेरीज विशिष्ट, मर्यादित मूल्यात स्थिर होते की अनंताकडे जाते. एक अभिसरण श्रेणी हळूहळू त्यांच्या पदांना 'संकुचित' करते जोपर्यंत त्यांची एकूण संख्या स्थिर मर्यादेपर्यंत पोहोचत नाही, परंतु भिन्न श्रेणी स्थिर होण्यास अपयशी ठरते, एकतर बंधनाशिवाय वाढते किंवा कायमचे दोलन करते.
दोन्ही प्रणाली द्विमितीय समतलातील स्थाने निश्चित करण्याचा प्राथमिक उद्देश पूर्ण करतात, परंतु त्या वेगवेगळ्या भौमितिक तत्वज्ञानातून या कार्याकडे जातात. कार्टेशियन निर्देशांक क्षैतिज आणि उभ्या अंतरांच्या कठोर ग्रिडवर अवलंबून असतात, तर ध्रुवीय निर्देशांक मध्यवर्ती स्थिर बिंदूपासून थेट अंतर आणि कोनावर लक्ष केंद्रित करतात.
