गणिताच्या जगात, प्रत्येक फंक्शन हा एक संबंध असतो, परंतु प्रत्येक संबंध फंक्शन म्हणून पात्र ठरत नाही. जरी एक संबंध फक्त दोन संख्यांच्या संचांमधील कोणत्याही संबंधाचे वर्णन करतो, तरी एक फंक्शन हा एक शिस्तबद्ध उपसंच असतो ज्यासाठी प्रत्येक इनपुटला एका विशिष्ट आउटपुटवर नेणे आवश्यक असते.
इनपुट आणि आउटपुटमधील कनेक्शन परिभाषित करणारा कोणताही क्रमबद्ध जोड्यांचा संच.
एक विशिष्ट प्रकारचा संबंध जिथे प्रत्येक इनपुटला एकच, अद्वितीय आउटपुट असते.
| वैशिष्ट्ये | नाते | कार्य |
|---|---|---|
| व्याख्या | क्रमबद्ध जोड्यांचा कोणताही संग्रह | प्रत्येक इनपुटला एक आउटपुट देण्याचा नियम |
| इनपुट/आउटपुट प्रमाण | एक ते अनेकांना परवानगी आहे | फक्त एक ते एक किंवा अनेक ते एक |
| उभ्या रेषा चाचणी | अयशस्वी होऊ शकते (दोनदा किंवा अधिक वेळा छेदते) | उत्तीर्ण होणे आवश्यक आहे (एक किंवा कमी वेळा छेदते) |
| ग्राफिक उदाहरणे | वर्तुळे, बाजूचे पॅराबोलास, S-वक्र | रेषा, ऊर्ध्वगामी पॅराबोलास, साइन लाटा |
| गणितीय व्याप्ती | सामान्य श्रेणी | संबंधांची उप-श्रेणी |
| अंदाज लावण्याची क्षमता | कमी (अनेक संभाव्य उत्तरे) | उच्च (एक निश्चित उत्तर) |
प्राथमिक फरक डोमेनच्या वर्तनात आहे. रिलेशनशिपमध्ये, तुम्ही ५ क्रमांक प्रविष्ट करू शकता आणि १० किंवा २० परत मिळवू शकता, ज्यामुळे 'एक ते अनेक' परिस्थिती निर्माण होते. फंक्शन ही अस्पष्टता टाळते; जर तुम्ही ५ प्लग इन केले तर तुम्हाला प्रत्येक वेळी एकच, सुसंगत निकाल मिळणे आवश्यक आहे, ज्यामुळे सिस्टम निश्चित आहे याची खात्री होते.
उभ्या रेषा चाचणी वापरून तुम्ही आलेखावर त्वरित फरक पाहू शकता. जर तुम्ही प्लॉटवर कुठेही एकापेक्षा जास्त ठिकाणी वक्र स्पर्श करणारी उभी रेषा काढू शकत असाल, तर तुम्ही संबंध पाहत आहात. फंक्शन्स अधिक 'सुव्यवस्थित' असतात आणि कधीही स्वतःवर क्षैतिजरित्या दुप्पट होत नाहीत.
कालांतराने एखाद्या व्यक्तीची उंची विचारात घ्या; कोणत्याही विशिष्ट वयात, एखाद्या व्यक्तीची उंची अगदी एक असते, ज्यामुळे ती एक कार्य बनते. उलट, लोकांची आणि त्यांच्या मालकीच्या कारची यादी विचारात घ्या. एका व्यक्तीकडे तीन वेगवेगळ्या कार असू शकतात, त्यामुळे तो संबंध एक संबंध आहे पण कार्य नाही.
फंक्शन्स हे कॅल्क्युलस आणि भौतिकशास्त्राचे काम करणारे घोडे आहेत कारण त्यांच्या अंदाजामुळे आपल्याला बदलाचे दर मोजता येतात. आउटपुट केवळ 'x' वर अवलंबून आहे हे दाखवण्यासाठी आपण विशेषतः फंक्शन्ससाठी 'f(x)' नोटेशन वापरतो. भूमितीमध्ये संबंध हे लंबवर्तुळासारखे आकार परिभाषित करण्यासाठी उपयुक्त आहेत जे या कठोर नियमांचे पालन करत नाहीत.
एका फंक्शनमध्ये दोन वेगवेगळे इनपुट असू शकत नाहीत ज्यामुळे एकच आउटपुट मिळतो.
हे प्रत्यक्षात मान्य आहे. उदाहरणार्थ, f(x) = x² या फंक्शनमध्ये, -2 आणि 2 दोन्ही 4 मध्ये परिणाम करतात. हा 'अनेक-ते-एक' संबंध आहे, जो फंक्शनसाठी पूर्णपणे वैध आहे.
वर्तुळांसाठी समीकरणे फंक्शन्स आहेत.
वर्तुळे हे संबंध आहेत, फंक्शन्स नाहीत. जर तुम्ही वर्तुळातून उभी रेषा काढली तर ती वरच्या आणि खालच्या बाजूने आदळते, म्हणजेच एका x-मूल्याची दोन y-मूल्या असतात.
'रिलेशन' आणि 'फंक्शन' हे शब्द एकमेकांच्या बदल्यात वापरले जाऊ शकतात.
ते नेस्टेड टर्म्स आहेत. तुम्ही फंक्शनला रिलेशन म्हणू शकता, परंतु जर सामान्य रिलेशनला फंक्शन म्हणणे गणितीयदृष्ट्या चुकीचे आहे जर ते एक-आउटपुट नियमाचे उल्लंघन करते.
फंक्शन्स नेहमी समीकरणे म्हणून लिहिल्या पाहिजेत.
फंक्शन्स टेबल्स, ग्राफ्स किंवा कोऑर्डिनेट्सच्या संचांद्वारे दर्शविले जाऊ शकतात. जोपर्यंत 'प्रति इनपुट एक आउटपुट' हा नियम राखला जातो तोपर्यंत फॉरमॅट काही फरक पडत नाही.
जेव्हा तुम्हाला सामान्य कनेक्शन किंवा स्वतःवर परत येणारा भौमितिक आकार वर्णन करायचा असेल तेव्हा संबंध वापरा. जेव्हा तुम्हाला अंदाजे मॉडेलची आवश्यकता असेल तेव्हा फंक्शनवर स्विच करा जिथे प्रत्येक क्रियेचा परिणाम एका विशिष्ट, पुनरावृत्ती करण्यायोग्य प्रतिक्रियेत होतो.
त्यांच्या गाभ्यामध्ये, अंकगणित आणि भूमितीय क्रम हे संख्यांची यादी वाढवण्याचे किंवा कमी करण्याचे दोन वेगवेगळे मार्ग आहेत. अंकगणित क्रम बेरीज किंवा वजाबाकीद्वारे स्थिर, रेषीय वेगाने बदलतो, तर भौमितिक क्रम गुणाकार किंवा भागाकाराद्वारे घातांकीय गतीने वाढतो किंवा कमी होतो.
नमुने ओळखणे हे एक मूलभूत गणितीय कौशल्य आहे, परंतु तुम्ही संख्या हाताळता की आकार, यावर अवलंबून त्याची पद्धत लक्षणीयरीत्या बदलते. अंकगणितीय श्रेण्या सलग पदांमधील एका निश्चित, अपरिवर्तनीय संख्यात्मक फरकावर अवलंबून असतात, तर दृश्य अनुक्रमांमध्ये बदलणारे भौमितिक गुणधर्म, रंग किंवा मांडणी यांचा उपयोग केला जातो. या दोन्ही गोष्टी समजून घेतल्याने अमूर्त बीजगणितीय सूत्रे आणि सहज अवकाशीय तर्क यांच्यातील दरी सांधण्यास मदत होते.
अंकगणित सरासरी प्रत्येक डेटा पॉइंटला अंतिम सरासरीमध्ये समान योगदानकर्ता मानते, तर भारित सरासरी वेगवेगळ्या मूल्यांना विशिष्ट पातळीचे महत्त्व देते. साध्या वर्ग सरासरीची गणना करण्यापासून ते जटिल आर्थिक पोर्टफोलिओ निश्चित करण्यापर्यंत जिथे काही मालमत्ता इतरांपेक्षा अधिक महत्त्वाच्या असतात अशा प्रत्येक गोष्टीसाठी हा फरक समजून घेणे महत्त्वाचे आहे.
क्रम विश्लेषण हे मांडणीचे प्रमाण ठरवण्यासाठी आणि क्रमबद्ध डेटामधून अचूक मापदंड काढण्यासाठी अल्गोरिथमिक, गणितीय आणि सांख्यिकीय सूत्रांवर अवलंबून असते, तर पॅटर्न व्हिज्युअलायझेशन या जटिल डेटा प्रवाहांचे सहज समजणाऱ्या अवकाशीय मांडणीमध्ये रूपांतर करते, ज्यामुळे लक्ष संख्यात्मक गणनेवरून जलद मानवी पॅटर्न ओळखण्याकडे वळते.
अमूर्त संख्या परिमाणांना औपचारिक नियम आणि बीजगणितीय समीकरणांद्वारे नियंत्रित शुद्ध सांकेतिक तर्कशास्त्र म्हणून मानतात, तर भूमितीय अर्थ त्याच मूल्यांना मूर्त आकार, रेषा आणि अवकाशीय मितींमध्ये रूपांतरित करतात. एकत्रितपणे, हे दोन दृष्टिकोन गणितामध्ये एक दुहेरी भाषा तयार करतात, जी निरस सांकेतिक कार्यक्षमता आणि सहज दृश्य आकलन यांच्यात संतुलन साधते.
