फॅक्टोरियल आणि एक्सपोनेंट हे दोन्ही गणितीय क्रिया आहेत ज्यामुळे जलद संख्यात्मक वाढ होते, परंतु त्यांचे प्रमाण वेगवेगळे असते. फॅक्टोरियल स्वतंत्र पूर्णांकांच्या कमी होत जाणाऱ्या क्रमाचा गुणाकार करतो, तर एक्सपोनेंटमध्ये समान स्थिर बेसचा पुनरावृत्ती गुणाकार असतो, ज्यामुळे फंक्शन्स आणि अनुक्रमांमध्ये प्रवेगाचे वेगवेगळे दर होतात.
१ ते एका विशिष्ट संख्ये n पर्यंतच्या सर्व धन पूर्णांकांचा गुणाकार.
एका आधार संख्येचा विशिष्ट संख्येने गुणाकार करण्याची प्रक्रिया.
| वैशिष्ट्ये | फॅक्टोरियल | घातांक |
|---|---|---|
| नोटेशन | एन! | ब^न |
| ऑपरेशन प्रकार | गुणाकार कमी करणे | सतत गुणाकार |
| वाढीचा दर | सुपर-एक्सपोनेन्शियल (जलद) | घातांक (मंद) |
| डोमेन | सामान्यतः ऋण नसलेले पूर्णांक | वास्तविक आणि जटिल संख्या |
| मूळ अर्थ | वस्तूंची व्यवस्था करणे | स्केलिंग/स्केलिंग अप |
| शून्य मूल्य | ०! = १ | ब^० = १ |
एका स्थिर, हाय-स्पीड ट्रेनसारख्या घातांकाचा विचार करा; जर तुमच्याकडे $2^n$ असेल, तर तुम्ही प्रत्येक पायरीवर आकार दुप्पट करत आहात. फॅक्टोरियल हे रॉकेटसारखे आहे जे चढताना अतिरिक्त इंधन मिळवते; प्रत्येक पायरीवर, तुम्ही मागील पायरीपेक्षा आणखी मोठ्या संख्येने गुणाकार करता. $2^4$ म्हणजे 16, $4!$ म्हणजे 24, आणि संख्या वाढत असताना त्यांच्यातील अंतर मोठ्या प्रमाणात वाढते.
$5^3$ सारख्या घातांकीय अभिव्यक्तीमध्ये, 5 ही संख्या शोचा 'तारा' आहे, जो तीन वेळा ($5 \times 5 \times 5$) दिसतो. $5!$ सारख्या फॅक्टोरियलमध्ये, 1 ते 5 पर्यंतचा प्रत्येक पूर्णांक भाग घेतो ($5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$). कारण फॅक्टोरियलमधील 'गुणक' n वाढल्याने वाढत असल्याने, फॅक्टोरियल अखेर कोणत्याही घातांकीय फंक्शनला मागे टाकतात, घातांकाचा पाया कितीही मोठा असला तरीही.
घातांक त्यांच्या सध्याच्या आकारानुसार बदलणाऱ्या प्रणालींचे वर्णन करतात, म्हणूनच ते शहरात विषाणू कसा पसरतो याचा मागोवा घेण्यासाठी परिपूर्ण आहेत. फॅक्टोरियल निवड आणि क्रमाचे तर्क वर्णन करतात. जर तुमच्याकडे १० वेगवेगळी पुस्तके असतील, तर फॅक्टोरियल तुम्हाला सांगते की त्यांना शेल्फवर रांगेत लावण्याचे ३,६२८,८०० वेगवेगळे मार्ग आहेत.
संगणक शास्त्रात, अल्गोरिथम चालण्यासाठी किती वेळ लागतो हे मोजण्यासाठी आपण याचा वापर करतो. मोठ्या डेटासाठी 'घातांकीय वेळ' अल्गोरिथम खूप मंद आणि अकार्यक्षम मानला जातो. तथापि, 'फॅक्टोरियल वेळ' अल्गोरिथम खूपच वाईट आहे, बहुतेकदा आधुनिक सुपरकॉम्प्युटरनाही इनपुट आकार काही डझन आयटमपर्यंत पोहोचल्यानंतर ते सोडवणे अशक्य होते.
१००^n सारखा मोठा घातांक नेहमीच n! पेक्षा मोठा असेल.
हे खोटे आहे. जरी $१००^n$ खूप मोठ्या प्रमाणात सुरू होत असले तरी, अखेर फॅक्टोरियलमधील n चे मूल्य १०० पेक्षा जास्त होईल. एकदा n पुरेसे मोठे झाले की, फॅक्टोरियल नेहमीच घातांकाला मागे टाकेल.
फॅक्टोरियल फक्त लहान संख्यांसाठी वापरले जातात.
आपण त्यांचा वापर लहान मांडणीसाठी करत असलो तरी, ते उच्च-स्तरीय भौतिकशास्त्र (स्टॅटिस्टिकल मेकॅनिक्स) आणि अब्जावधी चलांचा समावेश असलेल्या जटिल संभाव्यतेमध्ये महत्त्वाचे आहेत.
ऋण संख्यांना घातांक असतात तसे क्रमगुणित असतात.
मानक फॅक्टोरियल ऋण पूर्णांकांसाठी परिभाषित केलेले नाहीत. 'गामा फंक्शन' ही संकल्पना इतर संख्यांपर्यंत विस्तारित करते, परंतु (-3)! सारखे साधे फॅक्टोरियल मूलभूत गणितात अस्तित्वात नाही.
०! = ० कारण तुम्ही शून्याने गुणाकार करत आहात.
०! ला ० असे समजणे ही एक सामान्य चूक आहे. रिकाम्या संचाची व्यवस्था करण्याचा एकच मार्ग आहे म्हणून त्याची व्याख्या १ अशी केली आहे: कोणतीही व्यवस्था नसणे.
जेव्हा तुम्ही कालांतराने वारंवार होणाऱ्या वाढीचा किंवा क्षयाचा सामना करत असाल तेव्हा घातांक वापरा. जेव्हा तुम्हाला वेगवेगळ्या वस्तूंचा संच क्रमबद्ध, व्यवस्थित किंवा एकत्र करण्याचे एकूण मार्ग मोजायचे असतील तेव्हा फॅक्टोरियल वापरा.
त्यांच्या गाभ्यामध्ये, अंकगणित आणि भूमितीय क्रम हे संख्यांची यादी वाढवण्याचे किंवा कमी करण्याचे दोन वेगवेगळे मार्ग आहेत. अंकगणित क्रम बेरीज किंवा वजाबाकीद्वारे स्थिर, रेषीय वेगाने बदलतो, तर भौमितिक क्रम गुणाकार किंवा भागाकाराद्वारे घातांकीय गतीने वाढतो किंवा कमी होतो.
अंकगणित सरासरी प्रत्येक डेटा पॉइंटला अंतिम सरासरीमध्ये समान योगदानकर्ता मानते, तर भारित सरासरी वेगवेगळ्या मूल्यांना विशिष्ट पातळीचे महत्त्व देते. साध्या वर्ग सरासरीची गणना करण्यापासून ते जटिल आर्थिक पोर्टफोलिओ निश्चित करण्यापर्यंत जिथे काही मालमत्ता इतरांपेक्षा अधिक महत्त्वाच्या असतात अशा प्रत्येक गोष्टीसाठी हा फरक समजून घेणे महत्त्वाचे आहे.
दोन्ही संज्ञा दोन संचांमधील घटकांचे मॅपिंग कसे केले जाते याचे वर्णन करतात, परंतु ते समीकरणाच्या वेगवेगळ्या बाजूंना संबोधित करतात. एक-ते-एक (इंजेक्टिव्ह) फंक्शन्स इनपुटच्या विशिष्टतेवर लक्ष केंद्रित करतात, हे सुनिश्चित करतात की कोणतेही दोन मार्ग एकाच गंतव्यस्थानाकडे जात नाहीत, तर (सर्जेक्टिव्ह) फंक्शन्स प्रत्येक संभाव्य गंतव्यस्थान प्रत्यक्षात पोहोचले आहे याची खात्री करतात.
अभिसरण आणि भिन्न श्रेणीतील फरक हे ठरवतो की संख्यांची अनंत बेरीज विशिष्ट, मर्यादित मूल्यात स्थिर होते की अनंताकडे जाते. एक अभिसरण श्रेणी हळूहळू त्यांच्या पदांना 'संकुचित' करते जोपर्यंत त्यांची एकूण संख्या स्थिर मर्यादेपर्यंत पोहोचत नाही, परंतु भिन्न श्रेणी स्थिर होण्यास अपयशी ठरते, एकतर बंधनाशिवाय वाढते किंवा कायमचे दोलन करते.
दोन्ही प्रणाली द्विमितीय समतलातील स्थाने निश्चित करण्याचा प्राथमिक उद्देश पूर्ण करतात, परंतु त्या वेगवेगळ्या भौमितिक तत्वज्ञानातून या कार्याकडे जातात. कार्टेशियन निर्देशांक क्षैतिज आणि उभ्या अंतरांच्या कठोर ग्रिडवर अवलंबून असतात, तर ध्रुवीय निर्देशांक मध्यवर्ती स्थिर बिंदूपासून थेट अंतर आणि कोनावर लक्ष केंद्रित करतात.
