वर्तुळ हे एका केंद्रबिंदू आणि स्थिर त्रिज्याद्वारे परिभाषित केले जाते, तर एक लंबवर्तुळ ही संकल्पना दोन केंद्रबिंदूंपर्यंत विस्तारित करते, एक लांबलचक आकार तयार करते जिथे या केंद्रबिंदूंपर्यंतच्या अंतरांची बेरीज स्थिर राहते. प्रत्येक वर्तुळ तांत्रिकदृष्ट्या एक विशेष प्रकारचा लंबवर्तुळ असतो जिथे दोन्ही केंद्रबिंदू पूर्णपणे एकमेकांवर आच्छादित होतात, ज्यामुळे ते निर्देशांक भूमितीमध्ये सर्वात जवळून संबंधित आकृत्या बनतात.
एक परिपूर्ण गोल, द्विमितीय आकार जिथे काठावरील प्रत्येक बिंदू केंद्रापासून अगदी समान अंतरावर असतो.
फोसी नावाच्या दोन आतील बिंदूंनी परिभाषित केलेला एक लांबलचक वक्र आकार, जो एका चिरडलेल्या किंवा ताणलेल्या वर्तुळासारखा दिसतो.
| वैशिष्ट्ये | वर्तुळ | लंबवर्तुळ |
|---|---|---|
| केंद्रबिंदूंची संख्या | १ (मध्यभागी) | २ वेगळे गुण |
| विक्षिप्तता (इ) | ई = ० | ० < इ < १ |
| त्रिज्या/अक्ष | स्थिर त्रिज्या | परिवर्तनशील प्रमुख आणि गौण अक्ष |
| सममिती रेषा | अनंत (कोणताही व्यास) | दोन (मुख्य आणि गौण अक्ष) |
| मानक समीकरण | x² + y² = r² | (x²/a²) + (y²/b²) = १ |
| नैसर्गिक घटना | साबणाचे फुगे, तरंग | ग्रहांच्या कक्षा, सावल्या |
| परिमिती सूत्र | २πr (साधे) | जटिल एकत्रीकरण आवश्यक आहे |
गणितीयदृष्ट्या, वर्तुळ हे लंबवर्तुळाचे एक विशिष्ट रूप आहे. दोन केंद्रबिंदू असलेल्या लंबवर्तुळाची कल्पना करा; जसे ते दोन बिंदू एकमेकांच्या जवळ जातात आणि अखेर एकाच ठिकाणी विलीन होतात, तसतसे वाढवलेला आकार हळूहळू पूर्ण वर्तुळ बनतो. म्हणूनच लंबवर्तुळांना लागू होणारे अनेक भौमितिक नियम वर्तुळांसाठी देखील कार्य करतात, परंतु सोप्या चलांसह.
वर्तुळ हे सममितीचे शिखर आहे, तुम्ही ते कसेही फिरवले तरी ते एकसारखे दिसते. तथापि, लंबवर्तुळ अधिक प्रतिबंधात्मक असते; ते फक्त त्याच्या दोन मुख्य अक्षांवर सममितता राखते. या फरकामुळेच चाकांसारख्या फिरणाऱ्या भागांसाठी वर्तुळाकार वस्तूंना प्राधान्य दिले जाते, तर प्रकाश केंद्रित करणे किंवा वायुगतिकीय प्रोफाइल डिझाइन करणे यासारख्या विशेष कार्यांसाठी लंबवर्तुळाकार आकार वापरले जातात.
वर्तुळाचा घेर शोधणे ही विद्यार्थ्यांनी शिकलेल्या पहिल्या गोष्टींपैकी एक आहे कारण सूत्र सोपे आहे. याउलट, लंबवर्तुळाची अचूक परिमिती शोधणे आश्चर्यकारकपणे कठीण आहे आणि त्यासाठी प्रगत कॅल्क्युलस किंवा उच्च-स्तरीय अंदाजेपणा आवश्यक आहे. ही गुंतागुंत उद्भवते कारण लंबवर्तुळाची वक्रता त्याच्या काठावर फिरत असताना सतत बदलत असते.
मानवी अभियांत्रिकीमध्ये गिअर्स आणि पाईप्ससारख्या गोष्टींसाठी वर्तुळे सामान्य आहेत कारण ते दाब समान रीतीने वितरीत करतात. भौतिकशास्त्राच्या नैसर्गिक जगात लंबवर्तुळांचे वर्चस्व असते; उदाहरणार्थ, पृथ्वी सूर्याभोवती वर्तुळात फिरत नाही, तर लंबवर्तुळाकार मार्गाने फिरते. यामुळे आपल्या कक्षीय यांत्रिकी परिभाषित करणाऱ्या वेगवेगळ्या वेग आणि अंतरांना अनुमती मिळते.
वर्तुळ आणि लंबवर्तुळ हे दोन पूर्णपणे भिन्न आकार आहेत.
निर्देशांक भूमितीमध्ये, ते 'शंकू विभाग' नावाच्या एकाच कुटुंबाचे भाग आहेत. वर्तुळ हे लंबवर्तुळाचे फक्त एक उप-श्रेणी आहे जिथे क्षैतिज अक्षाची लांबी उभ्या अक्षांइतकी असते.
सर्व अंडाकृती लंबवर्तुळाकार आहेत.
लंबवर्तुळ हा एक अतिशय विशिष्ट गणितीय वक्र आहे. सर्व लंबवर्तुळ अंडाकृती असतात, परंतु अनेक अंडाकृती - जसे की प्रमाणित अंड्याच्या आकारात - खरा लंबवर्तुळ असण्यासाठी आवश्यक असलेल्या अंतरांच्या स्थिर-बेरीज-नियमाचे पालन करत नाहीत.
ग्रह परिपूर्ण वर्तुळात प्रवास करतात.
बहुतेक लोक असे गृहीत धरतात की कक्षा वर्तुळाकार असतात, परंतु प्रत्यक्षात त्या थोड्याशा लंबवर्तुळाकार असतात. जोहान्स केप्लरचा हा एक प्रमुख शोध होता ज्याने शतकानुशतके जुन्या खगोलशास्त्रीय सिद्धांतांमध्ये सुधारणा केली.
तुम्ही वर्तुळाकाराच्या परिमितीइतकेच सहजपणे लंबवर्तुळाची परिमिती काढू शकता.
लंबवर्तुळासाठी 2πr सारखे सोपे सूत्र नाही. लंबवर्तुळ परिमितींसाठी सर्वात सामान्य 'सोपी' सूत्रे देखील फक्त अंदाजे आहेत, अचूक उत्तरे नाहीत.
जेव्हा तुम्हाला परिपूर्ण सममिती, एकसमान दाब वितरण किंवा साध्या गणितीय गणनेची आवश्यकता असेल तेव्हा वर्तुळ निवडा. नैसर्गिक कक्षा मॉडेल करताना, परावर्तक प्रकाशिकी डिझाइन करताना किंवा दृष्टीकोन रेखाचित्रात वर्तुळाकार वस्तूंचे प्रतिनिधित्व करताना लंबवर्तुळ निवडा.
त्यांच्या गाभ्यामध्ये, अंकगणित आणि भूमितीय क्रम हे संख्यांची यादी वाढवण्याचे किंवा कमी करण्याचे दोन वेगवेगळे मार्ग आहेत. अंकगणित क्रम बेरीज किंवा वजाबाकीद्वारे स्थिर, रेषीय वेगाने बदलतो, तर भौमितिक क्रम गुणाकार किंवा भागाकाराद्वारे घातांकीय गतीने वाढतो किंवा कमी होतो.
अंकगणित सरासरी प्रत्येक डेटा पॉइंटला अंतिम सरासरीमध्ये समान योगदानकर्ता मानते, तर भारित सरासरी वेगवेगळ्या मूल्यांना विशिष्ट पातळीचे महत्त्व देते. साध्या वर्ग सरासरीची गणना करण्यापासून ते जटिल आर्थिक पोर्टफोलिओ निश्चित करण्यापर्यंत जिथे काही मालमत्ता इतरांपेक्षा अधिक महत्त्वाच्या असतात अशा प्रत्येक गोष्टीसाठी हा फरक समजून घेणे महत्त्वाचे आहे.
दोन्ही संज्ञा दोन संचांमधील घटकांचे मॅपिंग कसे केले जाते याचे वर्णन करतात, परंतु ते समीकरणाच्या वेगवेगळ्या बाजूंना संबोधित करतात. एक-ते-एक (इंजेक्टिव्ह) फंक्शन्स इनपुटच्या विशिष्टतेवर लक्ष केंद्रित करतात, हे सुनिश्चित करतात की कोणतेही दोन मार्ग एकाच गंतव्यस्थानाकडे जात नाहीत, तर (सर्जेक्टिव्ह) फंक्शन्स प्रत्येक संभाव्य गंतव्यस्थान प्रत्यक्षात पोहोचले आहे याची खात्री करतात.
अभिसरण आणि भिन्न श्रेणीतील फरक हे ठरवतो की संख्यांची अनंत बेरीज विशिष्ट, मर्यादित मूल्यात स्थिर होते की अनंताकडे जाते. एक अभिसरण श्रेणी हळूहळू त्यांच्या पदांना 'संकुचित' करते जोपर्यंत त्यांची एकूण संख्या स्थिर मर्यादेपर्यंत पोहोचत नाही, परंतु भिन्न श्रेणी स्थिर होण्यास अपयशी ठरते, एकतर बंधनाशिवाय वाढते किंवा कायमचे दोलन करते.
दोन्ही प्रणाली द्विमितीय समतलातील स्थाने निश्चित करण्याचा प्राथमिक उद्देश पूर्ण करतात, परंतु त्या वेगवेगळ्या भौमितिक तत्वज्ञानातून या कार्याकडे जातात. कार्टेशियन निर्देशांक क्षैतिज आणि उभ्या अंतरांच्या कठोर ग्रिडवर अवलंबून असतात, तर ध्रुवीय निर्देशांक मध्यवर्ती स्थिर बिंदूपासून थेट अंतर आणि कोनावर लक्ष केंद्रित करतात.
