प्रास्ताविक गणितात अनेकदा परस्पर बदलण्यायोग्य वापरले जात असले तरी, निरपेक्ष मूल्य सामान्यतः शून्यापासून वास्तविक संख्येचे अंतर दर्शवते, तर मापांक ही संकल्पना जटिल संख्या आणि सदिशांपर्यंत वाढवते. दोन्ही समान मूलभूत उद्देश पूर्ण करतात: गणितीय घटकाचे शुद्ध परिमाण प्रकट करण्यासाठी दिशात्मक चिन्हे काढून टाकणे.
प्रमाणित संख्यारेषेवर शून्यापासून वास्तव संख्येचे ऋण नसलेले अंतर.
जटिल संख्या, सदिश आणि मॉड्यूलर अंकगणितासाठी वापरल्या जाणाऱ्या निरपेक्ष मूल्याचे सामान्यीकरण.
| वैशिष्ट्ये | परिपूर्ण मूल्य | मॉड्यूलस |
|---|---|---|
| प्राथमिक संदर्भ | वास्तविक संख्या | जटिल संख्या / सदिश |
| परिमाणे | १D (संख्या रेषा) | २D किंवा उच्च (कॉम्प्लेक्स प्लेन) |
| सूत्र | |x| = √x² | |z| = √(a² + b²) |
| भौमितिक अर्थ | शून्यापासून अंतर | तीव्रता / मूळ स्थानापासून अंतर |
| नोटेशन | |x| | |z| किंवा mod(z) |
| निकालाचा प्रकार | वास्तविक नॉन-ऋण संख्या | वास्तविक नॉन-ऋण संख्या |
त्यांच्या गाभ्यामध्ये, दोन्ही संकल्पना अंतर मोजतात. एका साध्या वास्तव संख्येसाठी, परिपूर्ण मूल्य म्हणजे फक्त चिन्ह नसलेली संख्या. तथापि, जेव्हा आपण जटिल समतलात जातो तेव्हा संख्येचे दोन भाग असतात (वास्तविक आणि काल्पनिक). मूळ स्थानापासून त्या बिंदूपर्यंतचे सरळ रेषेचे अंतर शोधण्यासाठी मापांक पायथागोरियन प्रमेय वापरतो.
निरपेक्ष मूल्य हे सरळ गणित आहे जिथे तुम्ही फक्त ऋण चिन्ह टाकता. मॉड्यूलसमध्ये अधिक कठोर गणना समाविष्ट असते कारण त्यात अनेक परिमाणे समाविष्ट असतात. जरी ते नोटेशनली सारखेच दिसतात, तरी मॉड्यूलससाठी 'हुड अंतर्गत' होणारे गणित निरपेक्ष मूल्याच्या साध्या चिन्ह-काढून टाकण्यापेक्षा अधिक तीव्र असते.
अनेक उच्च-स्तरीय गणिताच्या संदर्भात, प्राध्यापक वास्तविक संख्यांबद्दल चर्चा करतानाही अधिक औपचारिक वाटण्यासाठी 'मापांक' हा शब्द वापरतात. उलट, जटिल संख्यांबद्दल बोलताना 'परिमाणांक' हा शब्द क्वचितच वापरला जातो. मूलभूत बीजगणितापासून जटिल विश्लेषणाकडे संक्रमण करताना मापांक हा परिपूर्ण मूल्याचा 'मोठा भाऊ' आहे हे समजून घेतल्याने गोंधळ दूर होण्यास मदत होते.
गोंधळाचा एक संभाव्य मुद्दा म्हणजे प्रोग्रामिंगमधील 'मॉड्युलो' ऑपरेशन, जे उर्वरित शोधते. नावाने संबंधित असले तरी, जटिल संख्येचे गणितीय मापांक हे लांबीचे मोजमाप आहे, तर संगणन मापांक हे चक्रीय 'रॅप-अराउंड' ऑपरेशन आहे. कोणते आहे हे जाणून घेण्यासाठी संदर्भ ओळखणे महत्वाचे आहे - भूमिती विरुद्ध संख्या सिद्धांत.
उर्वरित भागासाठी मापांक हे फक्त एक फॅन्सी नाव आहे.
संगणक शास्त्रात, 'mod' चा अर्थ बहुतेकदा शेष असतो. परंतु गणितात, संख्येचा मापांक त्याच्या निरपेक्ष परिमाणाचा संदर्भ देतो. त्या दोन भिन्न संकल्पना आहेत ज्यांचे नाव समान आहे.
निरपेक्ष मूल्य कधीकधी ऋण असू शकते.
व्याख्येनुसार, निरपेक्ष मूल्य अंतर मोजते आणि अंतर ऋण असू शकत नाही. ऋण चलाचे निरपेक्ष मूल्य देखील सकारात्मक परिणाम म्हणून व्यक्त केले जाते.
तुम्हाला फक्त काल्पनिक संख्यांसाठी मापांक आवश्यक आहे.
भौतिकशास्त्रातील सदिश देखील काल्पनिक संख्यांचा समावेश असला तरीही, बलाची ताकद निश्चित करण्यासाठी मापांक (ज्याला अनेकदा परिमाण म्हणतात) वापरतात.
मापांक मोजणे म्हणजे फक्त भाग एकत्र जोडणे.
तुम्ही फक्त खरे आणि काल्पनिक भाग जोडू शकत नाही. ते एकमेकांना काटकोनात असल्याने, तुम्हाला त्यांचा वर्ग करावा लागेल, त्यांना जोडावे लागेल आणि नंतर वर्गमूळ काढावे लागेल.
जेव्हा तुम्ही रेषेवर मानक धन आणि ऋण संख्यांसह काम करत असाल तेव्हा 'परिपूर्ण मूल्य' वापरा. जेव्हा तुम्ही जटिल संख्या, सदिश किंवा फेसरशी संबंधित प्रगत अभियांत्रिकी समस्या हाताळत असाल तेव्हा 'मापांक' वर स्विच करा.
त्यांच्या गाभ्यामध्ये, अंकगणित आणि भूमितीय क्रम हे संख्यांची यादी वाढवण्याचे किंवा कमी करण्याचे दोन वेगवेगळे मार्ग आहेत. अंकगणित क्रम बेरीज किंवा वजाबाकीद्वारे स्थिर, रेषीय वेगाने बदलतो, तर भौमितिक क्रम गुणाकार किंवा भागाकाराद्वारे घातांकीय गतीने वाढतो किंवा कमी होतो.
अंकगणित सरासरी प्रत्येक डेटा पॉइंटला अंतिम सरासरीमध्ये समान योगदानकर्ता मानते, तर भारित सरासरी वेगवेगळ्या मूल्यांना विशिष्ट पातळीचे महत्त्व देते. साध्या वर्ग सरासरीची गणना करण्यापासून ते जटिल आर्थिक पोर्टफोलिओ निश्चित करण्यापर्यंत जिथे काही मालमत्ता इतरांपेक्षा अधिक महत्त्वाच्या असतात अशा प्रत्येक गोष्टीसाठी हा फरक समजून घेणे महत्त्वाचे आहे.
दोन्ही संज्ञा दोन संचांमधील घटकांचे मॅपिंग कसे केले जाते याचे वर्णन करतात, परंतु ते समीकरणाच्या वेगवेगळ्या बाजूंना संबोधित करतात. एक-ते-एक (इंजेक्टिव्ह) फंक्शन्स इनपुटच्या विशिष्टतेवर लक्ष केंद्रित करतात, हे सुनिश्चित करतात की कोणतेही दोन मार्ग एकाच गंतव्यस्थानाकडे जात नाहीत, तर (सर्जेक्टिव्ह) फंक्शन्स प्रत्येक संभाव्य गंतव्यस्थान प्रत्यक्षात पोहोचले आहे याची खात्री करतात.
अभिसरण आणि भिन्न श्रेणीतील फरक हे ठरवतो की संख्यांची अनंत बेरीज विशिष्ट, मर्यादित मूल्यात स्थिर होते की अनंताकडे जाते. एक अभिसरण श्रेणी हळूहळू त्यांच्या पदांना 'संकुचित' करते जोपर्यंत त्यांची एकूण संख्या स्थिर मर्यादेपर्यंत पोहोचत नाही, परंतु भिन्न श्रेणी स्थिर होण्यास अपयशी ठरते, एकतर बंधनाशिवाय वाढते किंवा कायमचे दोलन करते.
दोन्ही प्रणाली द्विमितीय समतलातील स्थाने निश्चित करण्याचा प्राथमिक उद्देश पूर्ण करतात, परंतु त्या वेगवेगळ्या भौमितिक तत्वज्ञानातून या कार्याकडे जातात. कार्टेशियन निर्देशांक क्षैतिज आणि उभ्या अंतरांच्या कठोर ग्रिडवर अवलंबून असतात, तर ध्रुवीय निर्देशांक मध्यवर्ती स्थिर बिंदूपासून थेट अंतर आणि कोनावर लक्ष केंद्रित करतात.
