Funkcija pret sakarību
Matemātikas pasaulē katra funkcija ir relācija, bet ne katra relācija kvalificējas kā funkcija. Lai gan relācija vienkārši apraksta jebkuru saistību starp diviem skaitļu kopumiem, funkcija ir disciplinēta apakškopa, kurai nepieciešams, lai katra ievade novestu pie tieši viena konkrēta izvades datuma.
Iezīmes
- Visas funkcijas ir relācijas, bet lielākā daļa relāciju nav funkcijas.
- Funkcijas tiek definētas pēc to ticamības: viena ievade ir vienāda ar vienu izvadi.
- Vertikālās līnijas tests ir precīzs funkcijas vizuāls pierādījums.
- Relācijas var kartēt vienu 'x' vērtību uz bezgalīgu 'y' vērtību skaitu.
Kas ir Radniecība?
Jebkurš sakārtotu pāru kopums, kas definē savienojumu starp ieejām un izejām.
- Relācija ir plašākā kategorija elementu kartēšanai no domēna uz diapazonu.
- Viena ievade relācijā var būt saistīta ar vairākām dažādām izvadēm.
- Tos var attēlot kā punktu kopas, vienādojumus vai pat verbālus aprakstus.
- Relācijas grafiks var veidot jebkuru formu, ieskaitot apļus vai vertikālas līnijas.
- Relācijas tiek izmantotas, lai aprakstītu vispārīgus ierobežojumus, piemēram, "x ir lielāks par y".
Kas ir Funkcija?
Noteikts relācijas veids, kurā katram ievades datumam ir viena unikāla izvades informācija.
- Funkcijām, attēlojot tās koordinātu plaknē, jāiztur vertikālās līnijas tests.
- Katrs elements domēnā (x) atbilst tieši vienam elementam diapazonā (y).
- Tos bieži uzskata par "matemātiskām mašīnām", kas rada paredzamus rezultātus.
- Lai gan ieejai var būt tikai viena izeja, dažādas ieejas var koplietot vienu un to pašu izeju.
- Parasti apzīmē, izmantojot tādu apzīmējumu kā f(x), lai uzsvērtu atkarību.
Salīdzinājuma tabula
| Funkcija | Radniecība | Funkcija |
|---|---|---|
| Definīcija | Jebkura sakārtotu pāru kolekcija | Noteikums, kas piešķir vienu izeju katrai ieejai |
| Ievades/izvades attiecība | Ir atļauta pieeja "viens pret daudziem" | Viens pret vienu vai tikai daudzi pret vienu |
| Vertikālās līnijas tests | Var neizdoties (krustojas divas vai vairākas reizes) | Jābrauc garām (krustojas vienu vai retāk) |
| Grafiskie piemēri | Apļi, sānu parabolas, S-līknes | Līnijas, uz augšu vērstas parabolas, sinusoidālie viļņi |
| Matemātiskais darbības joma | Vispārīgā kategorija | Attiecību apakškategorija |
| Paredzamība | Zems (vairākas iespējamās atbildes) | Augsts (Viena noteikta atbilde) |
Detalizēts salīdzinājums
Ievades-izvades noteikums
Galvenā atšķirība slēpjas domēna uzvedībā. Relācijā jūs varat ievadīt skaitli 5 un iegūt rezultātu 10 vai 20, radot scenāriju "viens pret daudziem". Funkcija aizliedz šo divdomību; ja ievadāt skaitli 5, jums katru reizi ir jāiegūst viens, konsekvents rezultāts, nodrošinot, ka sistēma ir deterministiska.
Vizuāla identifikācija
Atšķirību grafikā var uzreiz noteikt, izmantojot vertikālās līnijas testu. Ja jebkurā diagrammas vietā var novilkt vertikālu līniju, kas vairāk nekā vienā vietā pieskaras līknei, jūs aplūkojat sakarību. Funkcijas ir "vienkāršotākas" un nekad nedubultojas horizontāli.
Reālās pasaules loģika
Iedomājieties cilvēka augumu laika gaitā; jebkurā noteiktā vecumā cilvēkam ir tieši viens augums, padarot to par funkciju. Un otrādi, iedomājieties cilvēku sarakstu un viņiem piederošās automašīnas. Tā kā vienai personai var piederēt trīs dažādas automašīnas, šī saikne ir relācija, bet ne funkcija.
Apzīmējumi un mērķis
Funkcijas ir matemātikas un fizikas darba zirgi, jo to paredzamība ļauj aprēķināt izmaiņu ātrumus. Mēs izmantojam apzīmējumu 'f(x)' tieši funkcijām, lai parādītu, ka izvade ir atkarīga tikai no 'x'. Relācijas ir noderīgas ģeometrijā, lai definētu tādas formas kā elipses, kas neievēro šos stingros noteikumus.
Priekšrocības un trūkumi
Radniecība
Iepriekšējumi
- +Elastīga kartēšana
- +Apraksta sarežģītas formas
- +Universālā kategorija
- +Ieskaitot visus datus
Ievietots
- −Grūtāk atrisināt
- −Neparedzami rezultāti
- −Ierobežota matemātikas izmantošana
- −Neiztur vertikālo testu
Funkcija
Iepriekšējumi
- +Paredzami rezultāti
- +Standartizēta notācija
- +Aprēķinu pamats
- +Notīrīt atkarības
Ievietots
- −Stingras prasības
- −Nevar modelēt apļus
- −Mazāk elastīgs
- −Ierobežoti domēna noteikumi
Biežas maldības
Funkcijai nevar būt divas dažādas ievades vērtības, kas rada vienu un to pašu izvadi.
Tas faktiski ir atļauts. Piemēram, funkcijā f(x) = x² gan -2, gan 2 rezultējas 4. Šī ir "daudzi pret vienu" attiecība, kas funkcijai ir pilnīgi derīga.
Apļa vienādojumi ir funkcijas.
Apļi ir relācijas, nevis funkcijas. Ja caur apli novelk vertikālu līniju, tā skar gan augšējo, gan apakšējo daļu, kas nozīmē, ka vienai x vērtībai ir divas y vērtības.
Terminus “relācija” un “funkcija” var lietot kā sinonīmus.
Tie ir ligzdoti termini. Lai gan funkciju var saukt par relāciju, vispārīgas relācijas saukšana par funkciju ir matemātiski nepareiza, ja tā pārkāpj vienas izejas noteikumu.
Funkcijas vienmēr jāraksta kā vienādojumi.
Funkcijas var attēlot tabulās, grafikos vai pat koordinātu kopās. Kamēr vien tiek ievērots noteikums "viena izeja uz ievadi", formātam nav nozīmes.
Bieži uzdotie jautājumi
Kā es varu noteikt, vai koordinātu saraksts ir funkcija?
Kāpēc tiek izmantots vertikālās līnijas tests?
Kas ir funkcija “viens pret vienu”?
Vai vertikāla līnija ir funkcija?
Vai funkcija var būt viens punkts?
Kāds ir domēns un diapazons?
Vai visi lineārie vienādojumi ir funkcijas?
Vai funkcijai ir jāievēro kāds modelis?
Spriedums
Izmantojiet sakarību, ja nepieciešams aprakstīt vispārīgu sakarību vai ģeometrisku formu, kas atgriežas pie sevis. Pārslēdzieties uz funkciju, ja nepieciešams paredzams modelis, kurā katra darbība izraisa vienu konkrētu, atkārtojamu reakciju.
Saistītie salīdzinājumi
Absolūtā vērtība pret moduli
Lai gan ievadmatemātikā absolūtā vērtība bieži tiek lietota kā sinonīms, tā parasti attiecas uz reālā skaitļa attālumu no nulles, savukārt modulis paplašina šo jēdzienu, iekļaujot kompleksos skaitļus un vektorus. Abiem ir viens un tas pats pamatmērķis: noņemt virziena zīmes, lai atklātu matemātiskas vienības tīro lielumu.
Algebra pret ģeometriju
Kamēr algebra koncentrējas uz abstraktiem darbību noteikumiem un simbolu manipulācijām, lai atrisinātu nezināmos, ģeometrija pēta telpas fizikālās īpašības, tostarp figūru izmēru, formu un relatīvo novietojumu. Kopā tie veido matemātikas pamatu, pārvēršot loģiskās attiecības vizuālās struktūrās.
Aplis pret elipsi
Lai gan apli nosaka viens centra punkts un nemainīgs rādiuss, elipse paplašina šo koncepciju līdz diviem fokusa punktiem, radot iegarenu formu, kur attālumu summa līdz šiem fokusiem paliek nemainīga. Katrs aplis tehniski ir īpašs elipses veids, kur abi fokusi perfekti pārklājas, padarot tos par visciešāk saistītajām figūrām koordinātu ģeometrijā.
Aritmētiskā pret ģeometrisko secību
Aritmētiskās un ģeometriskās secības būtībā ir divi dažādi veidi, kā palielināt vai samazināt skaitļu sarakstu. Aritmētiskā secība mainās vienmērīgā, lineārā tempā, veicot saskaitīšanu vai atņemšanu, savukārt ģeometriskā secība paātrinās vai palēninās eksponenciāli, veicot reizināšanu vai dalīšanu.
Aritmētiskais vidējais pret svērto vidējo
Aritmētiskais vidējais katru datu punktu uzskata par vienlīdzīgu ieguldījumu galīgajā vidējā vērtībā, savukārt svērtais vidējais piešķir noteiktus svarīguma līmeņus dažādām vērtībām. Šīs atšķirības izpratne ir ļoti svarīga visam, sākot no vienkāršu klases vidējo vērtību aprēķināšanas līdz sarežģītu finanšu portfeļu noteikšanai, kur dažiem aktīviem ir lielāka nozīme nekā citiem.