Чыныгы сандар биз физикалык дүйнөнү өлчөө үчүн адатта колдонгон бардык маанилерди — бүтүн сандардан тартып чексиз ондуктарга чейин — камтыса, татаал сандар элестүү бирдик $i$ киргизүү менен бул горизонтту кеңейтет. Бул кошуу математиктерге чыныгы чечими жок теңдемелерди чечүүгө мүмкүндүк берет жана заманбап физика жана инженерия үчүн маанилүү болгон эки өлчөмдүү сан системасын түзөт.
Үзгүлтүксүз бир өлчөмдүү сан сызыгында жайгашкан бардык рационалдуу жана иррационалдуу сандардын жыйындысы.
Сандар $a + bi$ түрүндө туюнтулат, мында $a$ жана $b$ чыныгы, ал эми $i$ - элестүү бирдик.
| Мүмкүнчүлүк | Чыныгы сандар | Комплекстүү сандар |
|---|---|---|
| Жалпы форма | $x$ (мында $x$ - каалаган реалдуу маани) | $a + bi$ (мында $i = \sqrt{-1}$) |
| Өлчөмдүүлүк | 1D (Сан сызыгы) | 2D (Татаал тегиздик) |
| Сандын квадраты | Ар дайым терс эмес ($x^2 \geq 0$) | Терс болушу мүмкүн (мисалы, $(2i)^2 = -4$) |
| Заказ берүү | Заказ кылса болот ($1 < 2 < 3$) | Стандарттуу "чоң" же "кичине" байланышы жок |
| Компоненттер | Таза чыныгы | Чыныгы бөлүк жана элестүү бөлүк |
| Физикалык интуиция | Түз өлчөнө турган чоңдуктар | Айлануу, фаза жана термелүү жөнүндө маалымат берет |
Чыныгы сандар эки багытта тең чексиздикке чейин созулган жөнөкөй, түз сызыкта жашайт. Бирок, комплекстүү сандар үчүн бүтүндөй тегиздик керек; чыныгы бөлүк сизди солго же оңго жылдырса, элестүү бөлүк сизди өйдө же ылдый жылдырат. 1Dден 2Dге бул жылышуу татаал математиканы ушунчалык күчтүү кылган негизги секирик болуп саналат.
Эгер сиз -9дун квадраттык тамырын чыныгы сандарды гана колдонуп табууга аракет кылсаңыз, анда сиз туюкка кептелесиз, анткени эч бир чыныгы санды өзүнө көбөйтүү терс санга алып келбейт. Комплекстүү сандар муну жооп катары $3i$ аныктоо менен чечет. Терс тамырларды иштетүү жөндөмү электроникадагы жана кванттык механикадагы математикалык моделдер терс сандардын квадраттык тамырларына туш болгондо жөн гана "сынып калбашы" үчүн шарт түзөт.
Чыныгы дүйнөдө "өлчөм" жөнөкөй — 5 2ден чоң. Татаал дүйнөдө биз тегиздиктеги башталыш чекитинен (нөлдөн) аралык катары "чоңдук" же "абсолюттук маани" жөнүндө сөз кылабыз. Комплекстүү сандар бурчту жана аралыкты камтыгандыктан, алар векторлор сыяктуу жүрүшөт, бул аларды өзгөрмө токту же үн толкундарын талдоо үчүн эң сонун куралга айлантат.
Бул эки топту толугу менен бөлөк деп ойлоо кеңири таралган ката. Чындыгында, ар бир чыныгы сан чындыгында элестүү бөлүгү нөлгө барабар болгон комплекс сан болуп саналат ($a + 0i$). Чыныгы сандар системасы жөн гана комплекстүү тегиздиктин чексиз океанынын ичиндеги белгилүү бир топтом — бир сызык — болуп саналат.
Элестетилген сандар реалдуу дүйнөдө "чыныгы" же пайдалуу эмес.
Атына карабастан, ойдон чыгарылган сандар реалдуу дүйнөдөгү технологиялар үчүн абдан маанилүү. Алар күн сайын электр тармактарын долбоорлоо, учактарды турукташтыруу жана смартфонуңуздагы санариптик сигналдарды иштетүү үчүн колдонулат.
Сан же чыныгы, же татаал, бирок экөө тең эмес.
Бардык чыныгы сандар комплекс сандар. Эгер сизде 5 саны болсо, аны 5 + 0i$ деп жазууга болот. Анын жөн гана нөлгө барабар элестүү компоненти бар.
Комплекстүү сандар – бул бири-бирине байланышкан эки башка чыныгы сан.
Алар эки бөлүктөн турганы менен, көбөйтүү жана бөлүү үчүн жөнөкөй чыныгы сан жуптары аткарбаган уникалдуу эрежелерди (мисалы, $i \times i = -1$) карманышат. Алар бирдиктүү, бир бүтүн математикалык бирдик катары иштешет.
Комплекстүү сандар математиктер зериккендиктен ойлоп табылган.
Алар чындыгында 16-кылымда кубдук теңдемелерди чечүү үчүн иштелип чыккан. Математиктер эсептөөлөрүнүн ортосунда "элестүү" кадамдардан өтпөстөн туура "чыныгы" жоопторду ала албай турганын түшүнүшкөн.
Күнүмдүк жашоодо, стандарттуу эсепке алууда жана маанилер жөнөкөй масштабда болгон негизги өлчөөлөрдө реалдуу сандарды колдонуңуз. Көп өлчөмдүү маселелер, толкун анализи же "айлануу" жана "фаза" "сумма" сыяктуу эле маанилүү болгон өнүккөн инженерия менен иштеп жатканда татаал сандарга кайрылыңыз.
Бул салыштыруу математикадагы квадрат сандар менен куб сандарынын ортосундагы негизги айырмачылыктарды түшүндүрүп, алардын түзүлүшү, негизги касиеттери, типтүү мисалдары жана геометрия менен арифметикада кандайча колдонулаарын камтыйт, бул окуучуларга эки маанилүү күч амалын айырмалоого жардам берет.
Киришүү математикасында көп учурда бири-биринин ордуна колдонулса да, абсолюттук маани адатта чыныгы сандын нөлдөн аралыгын билдирет, ал эми модуль бул түшүнүктү комплекс сандарга жана векторлорго жайылтат. Экөө тең бир эле негизги максатка кызмат кылат: багыт белгилерин алып салуу менен математикалык бирдиктин таза чоңдугун ачып берет.
Алгебра абстракттуу амалдардын эрежелерине жана белгисиз нерселерди чыгаруу үчүн символдорду манипуляциялоого көңүл бурса, геометрия мейкиндиктин физикалык касиеттерин, анын ичинде фигуралардын өлчөмүн, формасын жана салыштырмалуу жайгашуусун изилдейт. Алар чогуу математиканын негизин түзөт, логикалык байланыштарды визуалдык түзүлүштөргө айландырат.
Негизинен, арифметикалык жана геометриялык ырааттуулуктар сандардын тизмесин чоңойтуунун же кичирейтүүнүн эки башка жолу болуп саналат. Арифметикалык ырааттуулук кошуу же кемитүү аркылуу туруктуу, сызыктуу темп менен өзгөрөт, ал эми геометриялык ырааттуулук көбөйтүү же бөлүү аркылуу экспоненциалдуу түрдө ылдамдайт же жайлайт.
Арифметикалык орточо маани ар бир маалымат чекитин акыркы орточо мааниге барабар салым катары карайт, ал эми салмакталган орточо маани ар кандай маанилерге белгилүү бир маани деңгээлин берет. Бул айырмачылыкты түшүнүү жөнөкөй класстык орточо көрсөткүчтөрдү эсептөөдөн баштап, кээ бир активдер башкаларга караганда көбүрөөк мааниге ээ болгон татаал финансылык портфелдерди аныктоого чейин баары үчүн абдан маанилүү.
