Алар окшош көрүнсө да жана эсептөөдө бирдей тамырларга ээ болгону менен, туунду – бул бир өзгөрмөнүн экинчисине кандай реакция кылаарын көрсөткөн өзгөрүү ылдамдыгы, ал эми дифференциал өзгөрмөлөрдүн өзүндөгү чыныгы, чексиз кичинекей өзгөрүүнү билдирет. Туундуну белгилүү бир чекиттеги функциянын "ылдамдыгы", ал эми дифференциалды тангенс сызыгы боюнча жасалган "кичинекей кадам" деп элестетиңиз.
Функциянын өзгөрүшүнүн анын киргизүүсүндөгү өзгөрүшкө болгон катышынын чеги.
Координатанын же өзгөрмөнүн чексиз кичинекей өзгөрүүсүн чагылдырган математикалык объект.
| Мүмкүнчүлүк | Туунду | Дифференциалдык |
|---|---|---|
| Жаратылыш | Катыш / өзгөрүү ылдамдыгы | Аз санда/өзгөртүү |
| Белгилөө | $dy/dx$ же $f'(x)$ | $dy$ же $dx$ |
| Бирдик тегерек/график | Тангенс сызыгынын эңкейиши | Тангенс сызыгы боюнча көтөрүлүү/жүгүрүү |
| Өзгөрмөлүү түрү | Туунду функция | Көз карандысыз өзгөрмө/чексиз кичинекей |
| Негизги максат | Оптималдаштырууну/ылдамдыкты табуу | Жакындаштыруу/Интеграция |
| Өлчөмдүүлүк | Киргизүү бирдигине туура келген чыгаруу | Өзгөрмөнүн өзү менен бирдей бирдиктер |
Туунду – бул катыш — ал сизге ар бир $x$ бирдиги жылганда $y$ $f'(x)$ бирдигин жылдыраарын айтат. Бирок, дифференциал – бул өзгөрүүнүн чыныгы "бөлүгү". Эгер сиз унаа айдап баратканын элестетсеңиз, спидометр туундуну (саатына миля) көрсөтөт, ал эми секунданын бир бөлүгүндө басып өткөн кичинекей аралык дифференциал болуп саналат.
Дифференциалдар калькуляторсуз маанилерди баалоо үчүн абдан пайдалуу. $dy = f'(x) dx$ болгондуктан, эгер сиз бир чекиттеги туундуну билсеңиз, анда функциянын мааниси болжол менен канчага өзгөрөрүн билүү үчүн аны $x$деги кичинекей өзгөрүүгө көбөйтсөңүз болот. Бул тангенс сызыгын чыныгы ийри сызыктын убактылуу алмаштыруучусу катары натыйжалуу колдонот.
Көптөгөн студенттер туунду $dy/dx$ катары жазылгандыктан, чаташып калышат, ал эки дифференциалдын бөлчөгүнө окшош. Математикалык эсептөөлөрдүн көптөгөн бөлүктөрүндө биз аны бөлчөк сыяктуу карайбыз — мисалы, дифференциалдык теңдемелерди чыгаруу үчүн $dx$ га "көбөйткөндө" — бирок, так айтканда, туунду жөнөкөй бөлүүнүн эмес, чектик процесстин натыйжасы болуп саналат.
$\int f(x) dx$ сыяктуу интегралда $dx$ дифференциал болуп саналат. Ал ийри сызыктын астындагы аянтты табуу үчүн биз кошкон чексиз көп тик бурчтуктардын "туурасы" катары кызмат кылат. Дифференциалсыз интеграл негизсиз бийиктик гана болмок, ошондуктан аянтты эсептөө мүмкүн эмес.
Интегралдын аягындагы $dx$ жөн гана декорация.
Бул математиканын маанилүү бөлүгү. Ал сизге кайсы өзгөрмөгө карата интегралдап жатканыңызды айтып берет жана аянт сегменттеринин чексиз кичинекей туурасын билдирет.
Дифференциалдар жана туундулар бир эле нерсе.
Алар байланыштуу, бирок айырмаланат. Туунду - бул дифференциалдык катыштын чеги. Бири - ылдамдык (саатына 60 доллар), экинчиси - аралык (0,0001 доллар).
Сиз каалаган убакта $dy/dx$ ичинде $dx$ функциясын жокко чыгара аласыз.
Ал көптөгөн киришүү эсептөө ыкмаларында (мисалы, чынжыр эрежеси) иштегени менен, $dy/dx$ техникалык жактан бир оператор болуп саналат. Аны бөлчөк катары эсептөө жогорку деңгээлдеги анализде математикалык жактан тобокелдүү болушу мүмкүн болгон пайдалуу кыскартуу болуп саналат.
Дифференциалдар 2D математика үчүн гана.
Көп өзгөрмөлүү эсептөөлөрдө дифференциалдар абдан маанилүү, мында 'Жалпы дифференциал' ($dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$) беттин бардык багыттар боюнча бир убакта кандайча өзгөрөрүн көзөмөлдөйт.
Система өзгөрүп жаткан эңкейишти, ылдамдыкты же ылдамдыкты табуу үчүн туундуну колдонуңуз. Кичинекей өзгөрүүлөрдү жакындатуу, интегралдарда u-алмаштырууну аткаруу же өзгөрмөлөрдү бөлүү керек болгон дифференциалдык теңдемелерди чыгаруу керек болгондо дифференциалдык теңдемелерди тандаңыз.
Бул салыштыруу математикадагы квадрат сандар менен куб сандарынын ортосундагы негизги айырмачылыктарды түшүндүрүп, алардын түзүлүшү, негизги касиеттери, типтүү мисалдары жана геометрия менен арифметикада кандайча колдонулаарын камтыйт, бул окуучуларга эки маанилүү күч амалын айырмалоого жардам берет.
Киришүү математикасында көп учурда бири-биринин ордуна колдонулса да, абсолюттук маани адатта чыныгы сандын нөлдөн аралыгын билдирет, ал эми модуль бул түшүнүктү комплекс сандарга жана векторлорго жайылтат. Экөө тең бир эле негизги максатка кызмат кылат: багыт белгилерин алып салуу менен математикалык бирдиктин таза чоңдугун ачып берет.
Алгебра абстракттуу амалдардын эрежелерине жана белгисиз нерселерди чыгаруу үчүн символдорду манипуляциялоого көңүл бурса, геометрия мейкиндиктин физикалык касиеттерин, анын ичинде фигуралардын өлчөмүн, формасын жана салыштырмалуу жайгашуусун изилдейт. Алар чогуу математиканын негизин түзөт, логикалык байланыштарды визуалдык түзүлүштөргө айландырат.
Негизинен, арифметикалык жана геометриялык ырааттуулуктар сандардын тизмесин чоңойтуунун же кичирейтүүнүн эки башка жолу болуп саналат. Арифметикалык ырааттуулук кошуу же кемитүү аркылуу туруктуу, сызыктуу темп менен өзгөрөт, ал эми геометриялык ырааттуулук көбөйтүү же бөлүү аркылуу экспоненциалдуу түрдө ылдамдайт же жайлайт.
Арифметикалык орточо маани ар бир маалымат чекитин акыркы орточо мааниге барабар салым катары карайт, ал эми салмакталган орточо маани ар кандай маанилерге белгилүү бир маани деңгээлин берет. Бул айырмачылыкты түшүнүү жөнөкөй класстык орточо көрсөткүчтөрдү эсептөөдөн баштап, кээ бир активдер башкаларга караганда көбүрөөк мааниге ээ болгон татаал финансылык портфелдерди аныктоого чейин баары үчүн абдан маанилүү.
