En mathématiques, toute fonction est une relation, mais l'inverse n'est pas vrai. Une relation décrit simplement une association entre deux ensembles de nombres, tandis qu'une fonction est un sous-ensemble précis qui exige que chaque entrée produise une sortie unique et spécifique.
Tout ensemble de paires ordonnées définissant une connexion entre les entrées et les sorties.
Un type particulier de relation où chaque entrée a une seule et unique sortie.
| Fonctionnalité | Relation | Fonction |
|---|---|---|
| Définition | Toute collection de paires ordonnées | Une règle attribuant une sortie par entrée |
| Rapport entrée/sortie | La relation un-à-plusieurs est autorisée | Relation un-à-un ou plusieurs-à-un uniquement |
| Test de ligne verticale | Peut échouer (intersections deux fois ou plus) | Doit passer (intersection une fois ou moins) |
| Exemples graphiques | Cercles, paraboles latérales, courbes en S | Lignes, paraboles ascendantes, ondes sinusoïdales |
| Portée mathématique | Catégorie générale | Sous-catégorie des relations |
| Prévisibilité | Faible (Plusieurs réponses possibles) | Élevé (Une seule réponse) |
La principale différence réside dans le comportement du domaine. Dans une relation, vous pourriez saisir le nombre 5 et obtenir 10 ou 20 en retour, créant ainsi une relation « un-à-plusieurs ». Une fonction interdit cette ambiguïté ; si vous entrez 5, vous devez obtenir un résultat unique et cohérent à chaque fois, garantissant ainsi le déterminisme du système.
On peut immédiatement repérer la différence sur un graphique grâce au test de la ligne verticale. Si l'on peut tracer une ligne verticale n'importe où sur le graphique et qu'elle touche la courbe en plusieurs points, on observe une relation. Les fonctions sont plus « simples » et ne se rejoignent jamais horizontalement.
Considérons la taille d'une personne au fil du temps ; à un âge donné, une personne a une taille précise, ce qui en fait une fonction. À l'inverse, considérons une liste de personnes et les voitures qu'elles possèdent. Puisqu'une personne peut posséder trois voitures différentes, il s'agit d'une relation, et non d'une fonction.
Les fonctions sont essentielles en calcul différentiel et en physique, car leur prévisibilité permet de calculer les taux de variation. On utilise la notation « f(x) » spécifiquement pour les fonctions afin de montrer que la valeur de la fonction dépend uniquement de « x ». Les relations sont utiles en géométrie pour définir des figures comme les ellipses qui ne suivent pas ces règles strictes.
Deux entrées différentes ne peuvent pas donner la même sortie à une fonction.
C'est tout à fait possible. Par exemple, dans la fonction f(x) = x², -2 et 2 donnent tous deux 4. Il s'agit d'une relation « plusieurs à un », parfaitement valable pour une fonction.
Les équations des cercles sont des fonctions.
Les cercles représentent des relations, non des fonctions. Si vous tracez une ligne verticale à travers un cercle, elle touche le haut et le bas, ce qui signifie qu'une même valeur de x correspond à deux valeurs de y.
Les termes « relation » et « fonction » peuvent être utilisés de manière interchangeable.
Ce sont des termes imbriqués. Bien qu'on puisse qualifier une fonction de relation, qualifier une relation générale de fonction est mathématiquement incorrect si cela enfreint la règle de l'unique sortie.
Les fonctions doivent toujours être écrites sous forme d'équations.
Les fonctions peuvent être représentées par des tableaux, des graphiques ou même des ensembles de coordonnées. Du moment que la règle « une sortie par entrée » est respectée, le format importe peu.
Utilisez une relation pour décrire une connexion générale ou une forme géométrique qui forme une boucle. Privilégiez une fonction pour un modèle prévisible où chaque action entraîne une réaction spécifique et reproductible.
L'algèbre se concentre sur les règles abstraites des opérations et la manipulation des symboles pour résoudre des équations, tandis que la géométrie explore les propriétés physiques de l'espace, notamment la taille, la forme et la position relative des figures. Ensemble, elles constituent le fondement des mathématiques, traduisant les relations logiques en structures visuelles.
L'angle et la pente quantifient tous deux l'inclinaison d'une droite, mais ils s'expriment dans des langages mathématiques différents. Alors qu'un angle mesure la rotation circulaire entre deux droites sécantes en degrés ou en radians, la pente mesure le rapport entre la variation verticale (ou élévation) et la variation horizontale (ou distance parcourue) sous forme de rapport numérique.
Bien qu'ils puissent paraître mathématiquement opposés, le calcul différentiel et le calcul intégral sont en réalité les deux faces d'une même pièce. Le calcul différentiel s'intéresse aux variations des grandeurs à un instant précis, comme la vitesse instantanée d'une voiture, tandis que le calcul intégral additionne ces variations pour obtenir un résultat global, tel que la distance totale parcourue.
Alors qu'un cercle est défini par un centre et un rayon constants, une ellipse étend ce concept à deux foyers, créant ainsi une forme allongée où la somme des distances à ces foyers reste constante. Techniquement, tout cercle est un cas particulier d'ellipse où les deux foyers se superposent parfaitement, ce qui en fait les figures les plus proches en géométrie analytique.
Bien que les deux systèmes servent principalement à localiser des positions dans un plan bidimensionnel, ils abordent cette tâche selon des philosophies géométriques différentes. Les coordonnées cartésiennes reposent sur une grille rigide de distances horizontales et verticales, tandis que les coordonnées polaires se concentrent sur la distance directe et l'angle par rapport à un point fixe central.
