Matematiikan maailmassa jokainen funktio on relaatio, mutta kaikki relaatiot eivät ole funktioita. Relaatio kuvaa mitä tahansa kahden lukujoukon välistä yhteyttä, kun taas funktio on kurinalainen osajoukko, joka vaatii jokaisen syötteen johtavan täsmälleen yhteen tiettyyn tulosteeseen.
Mikä tahansa joukko järjestettyjä pareja, jotka määrittelevät yhteyden tulojen ja lähtöjen välillä.
Erityinen relaatiotyyppi, jossa jokaisella syötteellä on yksi, yksilöllinen tuloste.
| Ominaisuus | Suhde | Toiminto |
|---|---|---|
| Määritelmä | Mikä tahansa kokoelma järjestettyjä pareja | Sääntö, joka määrittää yhden lähdön tuloa kohden |
| Tulo-/lähtösuhde | Yksi-moneen-lähetys on sallittu | Yksi yhteen tai vain monta yhteen |
| Pystysuoran viivan testi | Voi epäonnistua (leikkaa kahdesti tai useammin) | Pakko ohittaa (risteytyy kerran tai harvemmin) |
| Graafisia esimerkkejä | Ympyrät, sivuttaisparaabelit, S-käyrät | Viivat, ylöspäin suuntautuvat paraabelit, siniaallot |
| Matemaattinen laajuus | Yleinen luokka | Suhteiden alakategoria |
| Ennustettavuus | Matala (useita mahdollisia vastauksia) | Korkea (Yksi varma vastaus) |
Ensisijainen ero on toimialueen käyttäytymisessä. Relaatiossa saatat syöttää luvun 5 ja saada takaisin 10 tai 20, mikä luo "yksi-moneen" -skenaarion. Funktio estää tämän monitulkintaisuuden; jos syötät luvun 5, sinun on saatava yksi, johdonmukainen tulos joka kerta, mikä varmistaa järjestelmän deterministisen luonteen.
Voit havaita eron kaaviossa välittömästi käyttämällä pystysuoran viivan testiä. Jos voit piirtää kaavioon pystysuoran viivan, joka sivuaa käyrää useammassa kuin yhdessä kohdassa, tarkastelet relaatiota. Funktiot ovat virtaviivaisempia eivätkä koskaan kaksinkertaistu vaakasuunnassa.
Ajattele henkilön pituutta ajan kuluessa; missä tahansa tietyssä iässä henkilöllä on täsmälleen yksi pituus, mikä tekee siitä funktion. Ajattele puolestaan luetteloa ihmisistä ja heidän omistamistaan autoista. Koska yksi henkilö voi omistaa kolme eri autoa, tämä yhteys on relaatio, mutta ei funktio.
Funktiot ovat laskenta- ja fysiikan työjuhtia, koska niiden ennustettavuus mahdollistaa muutosnopeuksien laskemisen. Käytämme f(x)-merkintämuotoa erityisesti funktioille osoittaaksemme, että tulos riippuu yksinomaan x:stä. Relaatiot ovat hyödyllisiä geometriassa määriteltäessä muotoja, kuten ellipsejä, jotka eivät noudata näitä tiukkoja sääntöjä.
Funktiolla ei voi olla kahta eri syötettä, jotka tuottavat saman tulosteen.
Tämä on itse asiassa sallittua. Esimerkiksi funktiossa f(x) = x² sekä -2 että 2 antavat tulokseksi 4. Tämä on 'monta yhteen' -suhde, joka on täysin pätevä funktiolle.
Ympyröiden yhtälöt ovat funktioita.
Ympyrät ovat relaatioita, eivät funktioita. Jos piirrät pystysuoran viivan ympyrän läpi, se osuu ylä- ja alaosaan, mikä tarkoittaa, että yhdellä x-arvolla on kaksi y-arvoa.
Termejä 'relaatio' ja 'funktio' voidaan käyttää keskenään vaihdellen.
Ne ovat sisäkkäisiä termejä. Vaikka funktiota voi kutsua relaatioksi, yleisen relaation kutsuminen funktioksi on matemaattisesti virheellistä, jos se rikkoo yhden tulosteen sääntöä.
Funktiot on aina kirjoitettava yhtälöinä.
Funktioita voidaan esittää taulukoilla, kuvaajilla tai jopa koordinaatistoilla. Niin kauan kuin "yksi lähtö per syöte" -sääntöä noudatetaan, muodolla ei ole väliä.
Käytä relaatiota, kun sinun on kuvattava yleistä yhteyttä tai geometrista muotoa, joka palaa takaisin itseensä. Vaihda funktioon, kun tarvitset ennustettavan mallin, jossa jokainen toiminto johtaa yhteen tiettyyn, toistettavaan reaktioon.
Vaikka itseisarvoa käytetään usein synonyymeinä johdantomatematiikassa, se tyypillisesti viittaa reaaliluvun etäisyyteen nollasta, kun taas modulo laajentaa tätä käsitettä kompleksilukuihin ja vektoreihin. Molemmilla on sama perustavanlaatuinen tarkoitus: poistaa suuntamerkit matemaattisen olion puhtaan suuruuden paljastamiseksi.
Algebra keskittyy abstrakteihin laskusääntöihin ja symbolien manipulointiin tuntemattomien ratkaisemiseksi, kun taas geometria tutkii avaruuden fysikaalisia ominaisuuksia, kuten kuvioiden kokoa, muotoa ja suhteellista sijaintia. Yhdessä ne muodostavat matematiikan perustan, joka kääntää loogiset suhteet visuaalisiksi rakenteiksi.
Tämä vertailu selittää alkulukujen ja yhdistettyjen lukujen määritelmät, ominaisuudet, esimerkit ja erot. Nämä ovat kaksi perustavanlaatuista luonnollisten lukujen luokkaa. Se selventää, miten ne tunnistetaan, miten ne käyttäytyvät tekijöihin jaoteltaessa ja miksi niiden tunnistaminen on tärkeää peruslukuteoriassa.
Alkulukujen tekijöihinjako on matemaattinen tavoite jakaa yhdistetty luku sen alkulukuihin, kun taas tekijäpuu on visuaalinen, haarautuva työkalu, jota käytetään tämän tuloksen saavuttamiseen. Toinen on lopullinen numeerinen lauseke, kun taas toinen on vaiheittainen tiekartta sen paljastamiseksi.
Aritmeettinen keskiarvo käsittelee jokaista datapistettä yhtäläisenä tekijänä lopullisessa keskiarvossa, kun taas painotettu keskiarvo antaa tietyt tärkeystasot eri arvoille. Tämän eron ymmärtäminen on ratkaisevan tärkeää kaikessa yksinkertaisten luokkakeskiarvojen laskemisesta monimutkaisten rahoitussalkkujen määrittämiseen, joissa joillakin omaisuuserillä on suurempi merkitys kuin toisilla.
