Funktio vs. suhde
Matematiikan maailmassa jokainen funktio on relaatio, mutta kaikki relaatiot eivät ole funktioita. Relaatio kuvaa mitä tahansa kahden lukujoukon välistä yhteyttä, kun taas funktio on kurinalainen osajoukko, joka vaatii jokaisen syötteen johtavan täsmälleen yhteen tiettyyn tulosteeseen.
Korostukset
- Kaikki funktiot ovat relaatioita, mutta useimmat relaatiot eivät ole funktioita.
- Funktiot määritellään niiden luotettavuuden perusteella: yksi syöte vastaa yhtä lähtöä.
- Pystysuoran viivan testi on funktion lopullinen visuaalinen todistus.
- Relaatiot voivat yhdistää yhden x-arvon äärettömään määrään y-arvoja.
Mikä on Suhde?
Mikä tahansa joukko järjestettyjä pareja, jotka määrittelevät yhteyden tulojen ja lähtöjen välillä.
- Relaatio on laajin kategoria elementtien kartoittamiseen tietystä alueesta alueeseen.
- Yksi relaation syöte voi olla yhteydessä useisiin eri lähtöihin.
- Ne voidaan esittää pistejoukkoina, yhtälöinä tai jopa sanallisina kuvauksina.
- Relaatiokaavio voi muodostaa minkä tahansa muodon, mukaan lukien ympyrät tai pystysuorat viivat.
- Relaatioita käytetään kuvaamaan yleisiä rajoitteita, kuten 'x on suurempi kuin y'.
Mikä on Toiminto?
Erityinen relaatiotyyppi, jossa jokaisella syötteellä on yksi, yksilöllinen tuloste.
- Funktioiden on läpäistävä pystysuoran viivan testi, kun ne piirretään koordinaatistossa.
- Jokainen alkio alueella (x) vastaa täsmälleen yhtä alkiota välillä (y).
- Niitä pidetään usein "matemaattisina koneina", jotka tuottavat ennustettavia tuloksia.
- Vaikka yhdellä tulolla voi olla vain yksi lähtö, eri tuloilla voi olla sama lähtö.
- Yleisesti merkitään käyttämällä merkintöjä, kuten f(x), riippuvuuden korostamiseksi.
Vertailutaulukko
| Ominaisuus | Suhde | Toiminto |
|---|---|---|
| Määritelmä | Mikä tahansa kokoelma järjestettyjä pareja | Sääntö, joka määrittää yhden lähdön tuloa kohden |
| Tulo-/lähtösuhde | Yksi-moneen-lähetys on sallittu | Yksi yhteen tai vain monta yhteen |
| Pystysuoran viivan testi | Voi epäonnistua (leikkaa kahdesti tai useammin) | Pakko ohittaa (risteytyy kerran tai harvemmin) |
| Graafisia esimerkkejä | Ympyrät, sivuttaisparaabelit, S-käyrät | Viivat, ylöspäin suuntautuvat paraabelit, siniaallot |
| Matemaattinen laajuus | Yleinen luokka | Suhteiden alakategoria |
| Ennustettavuus | Matala (useita mahdollisia vastauksia) | Korkea (Yksi varma vastaus) |
Yksityiskohtainen vertailu
Panos-tuotos-sääntö
Ensisijainen ero on toimialueen käyttäytymisessä. Relaatiossa saatat syöttää luvun 5 ja saada takaisin 10 tai 20, mikä luo "yksi-moneen" -skenaarion. Funktio estää tämän monitulkintaisuuden; jos syötät luvun 5, sinun on saatava yksi, johdonmukainen tulos joka kerta, mikä varmistaa järjestelmän deterministisen luonteen.
Visuaalinen tunnistus
Voit havaita eron kaaviossa välittömästi käyttämällä pystysuoran viivan testiä. Jos voit piirtää kaavioon pystysuoran viivan, joka sivuaa käyrää useammassa kuin yhdessä kohdassa, tarkastelet relaatiota. Funktiot ovat virtaviivaisempia eivätkä koskaan kaksinkertaistu vaakasuunnassa.
Reaalimaailman logiikka
Ajattele henkilön pituutta ajan kuluessa; missä tahansa tietyssä iässä henkilöllä on täsmälleen yksi pituus, mikä tekee siitä funktion. Ajattele puolestaan luetteloa ihmisistä ja heidän omistamistaan autoista. Koska yksi henkilö voi omistaa kolme eri autoa, tämä yhteys on relaatio, mutta ei funktio.
Merkintätapa ja tarkoitus
Funktiot ovat laskenta- ja fysiikan työjuhtia, koska niiden ennustettavuus mahdollistaa muutosnopeuksien laskemisen. Käytämme f(x)-merkintämuotoa erityisesti funktioille osoittaaksemme, että tulos riippuu yksinomaan x:stä. Relaatiot ovat hyödyllisiä geometriassa määriteltäessä muotoja, kuten ellipsejä, jotka eivät noudata näitä tiukkoja sääntöjä.
Hyödyt ja haitat
Suhde
Plussat
- +Joustava kartoitus
- +Kuvaa monimutkaisia muotoja
- +Yleinen luokka
- +Sisältää kaikki tiedot
Sisältö
- −Vaikeampi ratkaista
- −Ennustamattomat tuotokset
- −Rajoitettu laskentateho
- −Pystysuora testi epäonnistuu
Toiminto
Plussat
- +Ennustettavat tulokset
- +Standardoitu merkintätapa
- +Laskennan perusta
- +Tyhjennä riippuvuudet
Sisältö
- −Tiukat vaatimukset
- −Ympyröitä ei voi mallintaa
- −Vähemmän joustava
- −Rajoitetut verkkotunnussäännöt
Yleisiä harhaluuloja
Funktiolla ei voi olla kahta eri syötettä, jotka tuottavat saman tulosteen.
Tämä on itse asiassa sallittua. Esimerkiksi funktiossa f(x) = x² sekä -2 että 2 antavat tulokseksi 4. Tämä on 'monta yhteen' -suhde, joka on täysin pätevä funktiolle.
Ympyröiden yhtälöt ovat funktioita.
Ympyrät ovat relaatioita, eivät funktioita. Jos piirrät pystysuoran viivan ympyrän läpi, se osuu ylä- ja alaosaan, mikä tarkoittaa, että yhdellä x-arvolla on kaksi y-arvoa.
Termejä 'relaatio' ja 'funktio' voidaan käyttää keskenään vaihdellen.
Ne ovat sisäkkäisiä termejä. Vaikka funktiota voi kutsua relaatioksi, yleisen relaation kutsuminen funktioksi on matemaattisesti virheellistä, jos se rikkoo yhden tulosteen sääntöä.
Funktiot on aina kirjoitettava yhtälöinä.
Funktioita voidaan esittää taulukoilla, kuvaajilla tai jopa koordinaatistoilla. Niin kauan kuin "yksi lähtö per syöte" -sääntöä noudatetaan, muodolla ei ole väliä.
Usein kysytyt kysymykset
Mistä tiedän, onko koordinaattilista funktio?
Miksi vertikaaliviivatestiä käytetään?
Mikä on 'yksi yhteen' -funktio?
Onko pystysuora viiva funktio?
Voiko funktio olla yksi piste?
Mikä on toimialue ja alue?
Ovatko kaikki lineaariset yhtälöt funktioita?
Pitääkö funktion noudattaa jotakin kaavaa?
Tuomio
Käytä relaatiota, kun sinun on kuvattava yleistä yhteyttä tai geometrista muotoa, joka palaa takaisin itseensä. Vaihda funktioon, kun tarvitset ennustettavan mallin, jossa jokainen toiminto johtaa yhteen tiettyyn, toistettavaan reaktioon.
Liittyvät vertailut
Äärellinen vs. ääretön
Vaikka äärelliset suureet edustavat arkipäivän todellisuuden mitattavia ja rajattuja osia, äärettömyys kuvaa matemaattista tilaa, joka ylittää kaikki numeeriset rajat. Eron ymmärtäminen edellyttää siirtymistä objektien laskemisen maailmasta joukko-opin ja loputtomien sarjojen abstraktiin alueeseen, jossa tavallinen aritmetiikka usein epäonnistuu.
Absoluuttinen arvo vs. moduuli
Vaikka itseisarvoa käytetään usein synonyymeinä johdantomatematiikassa, se tyypillisesti viittaa reaaliluvun etäisyyteen nollasta, kun taas modulo laajentaa tätä käsitettä kompleksilukuihin ja vektoreihin. Molemmilla on sama perustavanlaatuinen tarkoitus: poistaa suuntamerkit matemaattisen olion puhtaan suuruuden paljastamiseksi.
Algebra vs. geometria
Algebra keskittyy abstrakteihin laskusääntöihin ja symbolien manipulointiin tuntemattomien ratkaisemiseksi, kun taas geometria tutkii avaruuden fysikaalisia ominaisuuksia, kuten kuvioiden kokoa, muotoa ja suhteellista sijaintia. Yhdessä ne muodostavat matematiikan perustan, joka kääntää loogiset suhteet visuaalisiksi rakenteiksi.
Alkuluvut verrattuna yhdistettyihin lukuihin.
Tämä vertailu selittää alkulukujen ja yhdistettyjen lukujen määritelmät, ominaisuudet, esimerkit ja erot. Nämä ovat kaksi perustavanlaatuista luonnollisten lukujen luokkaa. Se selventää, miten ne tunnistetaan, miten ne käyttäytyvät tekijöihin jaoteltaessa ja miksi niiden tunnistaminen on tärkeää peruslukuteoriassa.
Alkutekijöihin jakaminen vs. tekijäpuu
Alkulukujen tekijöihinjako on matemaattinen tavoite jakaa yhdistetty luku sen alkulukuihin, kun taas tekijäpuu on visuaalinen, haarautuva työkalu, jota käytetään tämän tuloksen saavuttamiseen. Toinen on lopullinen numeerinen lauseke, kun taas toinen on vaiheittainen tiekartta sen paljastamiseksi.