Zenbaki errealek mundu fisikoa neurtzeko erabiltzen ditugun balio guztiak hartzen dituzten bitartean —zenbaki osoetatik hasi eta hamartar infinituetaraino—, zenbaki konplexuek horizonte hori zabaltzen dute $i$ unitate irudikaria sartuz. Gehigarri honek matematikariei irtenbide errealik ez duten ekuazioak ebazteko aukera ematen die, fisika eta ingeniaritza modernoarentzat ezinbestekoa den bi dimentsioko zenbaki sistema bat sortuz.
Zenbaki-zuzen jarraitu unidimentsional batean aurki daitezkeen zenbaki arrazional eta irrazionalen multzoa.
Zenbakiak $a + bi$ eran adierazten dira, non $a$ eta $b$ errealak diren eta $i$ unitate irudikaria den.
| Ezaugarria | Zenbaki errealak | Zenbaki konplexuak |
|---|---|---|
| Inprimaki Orokorra | $x$ (non $x$ edozein balio erreala den) | $a + bi$ (non $i = \sqrt{-1}$) |
| Dimentsiotasuna | 1D (Zenbaki-lerroa) | 2D (Plano Konplexua) |
| Zenbakiaren karratua | Beti ez-negatiboa ($x^2 \geq 0$) | Negatiboa izan daiteke (adibidez, $(2i)^2 = -4$) |
| Eskaera | Eska daiteke (1 $ < 2 $ < 3 $) | Ez dago 'handiagoa baino' edo 'txikiagoa baino' erlazio estandarrik |
| Osagaiak | Benetan benetakoa. | Zati erreala eta zati irudikaria |
| Intuizio fisikoa | Zuzenean neur daitezkeen kantitateak | Errotazioa, fasea eta oszilazioa deskribatzen ditu |
Zenbaki errealak bi norabideetan infinituraino luzatzen den lerro zuzen eta sinple batean bizi dira. Zenbaki konplexuek, ordea, plano oso bat behar dute existitzeko; zati errealak ezkerrera edo eskuinera mugitzen zaitu, eta zati irudikariak, berriz, gora edo behera. 1Dtik 2Drako aldaketa hau da matematika konplexua hain indartsu egiten duen jauzi nagusia.
Zenbaki errealak soilik erabiliz -9ren erro karratua aurkitzen saiatzen bazara, bide itsu batera iritsiko zara, berez biderkatutako zenbaki erreal batek ez baitu negatibo ematen. Zenbaki konplexuek $3i$ erantzun gisa definituz konpontzen dute arazoa. Erro negatiboak maneiatzeko gaitasun honek bermatzen du elektronikako eta mekanika kuantikoko eredu matematikoak ez direla "hausten" negatiboen erro karratuekin topo egiten dutenean.
Mundu errealean, 'tamaina' erraza da: 5 2 baino handiagoa da. Mundu konplexuan, 'magnitudea' edo 'balio absolutua' planoan jatorritik (zero) dagoen distantzia gisa aipatzen dugu. Zenbaki konplexuek angelu bat eta distantzia bat barne hartzen dituztenez, bektoreen antzera jokatzen dute, eta horrek tresna ezin hobea bihurtzen ditu korronte alternoak edo soinu-uhinak aztertzeko.
Ohiko akatsa da bi talde hauek guztiz bereizita daudela pentsatzea. Egia esan, zenbaki erreal guztiak zenbaki konplexu bat dira, non zati irudikaria zero den ($a + 0i$). Zenbaki errealen sistema azpimultzo espezifiko bat besterik ez da —lerro bakarra— plano konplexuaren ozeano zabal eta infinituaren barruan.
Zenbaki imajinarioak ez dira "benetakoak" edo erabilgarriak mundu errealean.
Izen txarra izan arren, zenbaki irudizkoak ezinbestekoak dira benetako teknologiarako. Egunero erabiltzen dira sare elektrikoak diseinatzeko, hegazkinak egonkortzeko eta seinale digitalak telefonoan prozesatzeko.
Zenbaki bat erreala edo konplexua da, baina inoiz ez biak.
Zenbaki erreal guztiak zenbaki konplexuak dira. 5 zenbakia baduzu, $5 + 0i$ bezala idatz daiteke. Zero osagai irudikaria duela gertatzen da, besterik gabe.
Zenbaki konplexuak bi zenbaki erreal bereizi eta elkarri lotutakoak dira, besterik gabe.
Bi zati dituzten arren, biderketa eta zatiketarako arau bereziak jarraitzen dituzte (adibidez, $i \times i = -1$), zenbaki errealen bikote sinpleek jarraitzen ez dituztenak. Entitate matematiko bakar eta kohesionatu gisa jokatzen dute.
Zenbaki konplexuak matematikariak aspertuta zeudelako asmatu ziren.
Egia esan, XVI. mendean garatu ziren ekuazio kubikoak ebazteko. Matematikariek konturatu ziren ezin zituztela erantzun "erreal" zuzenak lortu kalkuluen erdian urrats "irudimentsu" batzuk igaro gabe.
Erabili zenbaki errealak eguneroko bizitzarako, kontabilitate estandarrerako eta balioak eskala sinple batean dauden oinarrizko neurketetarako. Zenbaki konplexuetara jo dimentsio anitzeko arazoekin, uhinen analisiarekin edo ingeniaritza aurreratuarekin lanean ari zarenean, non "errotazioa" eta "fasea" "kantitatea" bezain garrantzitsuak diren.
Adierazpen arrazional guztiak adierazpen aljebraikoen aterki zabalaren barruan sartzen diren arren, azpimota oso espezifiko eta mugatu bat osatzen dute. Adierazpen aljebraikoa erroak eta berretzaile anitzak barne hartzen dituen kategoria zabala da, adierazpen arrazionala, berriz, bi polinomioren zatidura gisa definitzen den bitartean, aldagaiz osatutako zatiki baten antzera.
Eredu matematiko ororen muinean kausa eta efektuaren arteko erlazioa dago. Aldagai independenteak zuk kontrolatzen edo aldatzen duzun sarrera edo 'kausa' adierazten du, eta mendeko aldagaia, berriz, aldaketa horiei erantzuten dien heinean behatu eta neurtzen duzun 'efektua' edo emaitza da.
Aljebrak eragiketa-arau abstraktuetan eta ezezagunak ebazteko sinboloen manipulazioan jartzen du arreta, geometriak espazioaren propietate fisikoak aztertzen ditu, besteak beste, figuren tamaina, forma eta posizio erlatiboa. Elkarrekin, matematikaren oinarria osatzen dute, erlazio logikoak egitura bisualetan bihurtuz.
Angeluak eta maldak lerro baten "malda" kuantifikatzen dute, baina hizkuntza matematiko desberdinak erabiltzen dituzte. Angelu batek bi lerro gurutzatuen arteko biraketa zirkularra gradu edo radianetan neurtzen duen bitartean, maldak "igoera" bertikala neurtzen du "lerro" horizontalarekiko, erlazio numeriko gisa.
Matematikan, zenbaki arrazionalen eta irrazionalen arteko desberdintasunak azaltzen dituen konparazioa da, haien definizioak, hamartar portaera, adibide arruntak eta zenbaki errealen sisteman duten kokapena azpimarratuz, ikasle eta hezitzaileei oinarrizko kontzeptu numeriko horiek ulertzen laguntzeko.
