Limiteak eta jarraitutasuna kalkuluaren oinarria dira, funtzioek puntu espezifikoetara hurbiltzean nola jokatzen duten definitzen baitute. Limiteak funtzio bat gertutik hurbiltzen den balioa deskribatzen duen bitartean, jarraitutasunak funtzioa puntu horretan benetan existitzea eta aurreikusitako limitearekin bat etortzea eskatzen du, grafiko leun eta etenik gabekoa bermatuz.
Funtzio batek sarrera zenbaki jakin batera gero eta gehiago hurbiltzen den heinean hurbiltzen den balioa.
Funtzio baten propietatea, non bere grafikoan bat-bateko jauzi, zulo edo etenik ez dagoen.
| Ezaugarria | Mugatu | Jarraitutasuna |
|---|---|---|
| Oinarrizko definizioa | "Helburu" balioa hurbildu ahala | Bidearen izaera «etengabea» |
| 1. eskakizuna | Ezkerretik/eskuinetik hurbiltzeak bat etorri behar du | Funtzioa puntu horretan definitu behar da |
| 2. eskakizuna | Helburua zenbaki finitua izan behar da | Mugak benetako balioarekin bat etorri behar du |
| Ikusmen-seinalea | Helmuga batera seinalatuz | Lerro jarraitua, tarterik gabe |
| Notazio matematikoa | lim f(x) = L | lim f(x) = f(c) |
| Independentzia | Puntuaren benetako balioarekiko independentea | Puntuaren benetako balioaren araberakoa |
Pentsa ezazu muga bat GPS helmuga gisa. Etxe baten ate nagusiraino joan zaitezke autoz, etxea bera eraitsi bada ere; helmuga (muga) oraindik existitzen da. Jarraitutasunak, ordea, ez du eskatzen helmuga existitzea bakarrik, etxea benetan hor egotea eta barrura sartu ahal izatea. Matematikan, muga nora zoazen da, eta jarraitutasuna puntu sendo batera iritsi zarela baieztatzea da.
Funtzio bat 'c' puntuan jarraitua izateko, hiru zatitan banatutako ikuskapen zorrotza gainditu behar du. Lehenik, limitea 'c' puntura hurbiltzean existitu behar da. Bigarrenik, funtzioa 'c' puntuan definituta egon behar da (zulorik gabe). Hirugarrenik, bi balio horiek berdinak izan behar dira. Hiru baldintza hauetakoren bat huts egiten badu, funtzioa puntu horretan etentzat hartzen da.
Mugek puntu baten inguruko auzoa bakarrik dute axola. Ezkerreko aldea 5era eta eskuinekoa 10era doan 'jauzi' bat izan dezakezu; kasu honetan, limitea ez da existitzen, ez baitago adostasunik. Jarraitutasunerako, ezkerreko aldearen, eskuineko aldearen eta puntuaren beraren artean 'esku-emate' perfektua egon behar da. Esku-emate honek grafikoa kurba leun eta aurreikusgarria dela ziurtatzen du.
Mugak behar ditugu "zuloak" dituzten formak maneiatzeko, eta hori maiz gertatzen da aljebran zeroz zatitzen dugunean. Jarraitutasuna ezinbestekoa da "Bitarteko Balioen Teoremarentzat", eta horrek bermatzen du funtzio jarraitu bat zero azpitik hasten bada eta zero gainetik amaitzen bada, noizbait zerotik *gurutzatu* behar duela. Jarraitutasunik gabe, funtzioak ardatzaren gainetik "jauzi" egin lezake, ukitu gabe.
Funtzio bat puntu batean definituta badago, puntu horretan jarraitua da.
Ez derrigorrez. Lerroaren gainerakoaren gainetik flotatzen ari den 'puntu' bat izan dezakezu. Funtzioa existitzen da, baina ez da jarraitua, grafikoaren bidearekin bat ez datorrelako.
Limitea funtzioaren balioaren berdina da.
Hau funtzioa jarraitua bada bakarrik da egia. Kalkulu-problema askotan, muga 5 izan daiteke, eta benetako funtzioaren balioa 'definitu gabea' edo baita 10 ere bada.
Asintota bertikalek mugak dituzte.
Teknikoki, funtzio bat infinitura jotzen badu, limitea 'Ez da existitzen'. Portaera deskribatzeko 'lim = ∞' idazten dugun arren, infinitua ez da zenbaki finitua, beraz, limiteak ez du definizio formala betetzen.
Beti aurki dezakezu muga bat zenbakia sartuz.
'Ordezkapen zuzen' honek funtzio jarraituetarako bakarrik funtzionatzen du. Zenbakia sartzeak 0/0 ematen badizu, zulo bat ikusten ari zara, eta aljebra edo L'Hôpital-en araua erabili beharko duzu benetako limitea aurkitzeko.
Erabili mugak funtzio baten joera zehaztugabea edo 'nahasia' izan daitekeen puntu batetik gertu aurkitu behar duzunean. Erabili jarraitutasuna prozesu bat egonkorra dela eta bat-bateko aldaketarik edo etenik ez duela frogatu behar duzunean.
Adierazpen arrazional guztiak adierazpen aljebraikoen aterki zabalaren barruan sartzen diren arren, azpimota oso espezifiko eta mugatu bat osatzen dute. Adierazpen aljebraikoa erroak eta berretzaile anitzak barne hartzen dituen kategoria zabala da, adierazpen arrazionala, berriz, bi polinomioren zatidura gisa definitzen den bitartean, aldagaiz osatutako zatiki baten antzera.
Eredu matematiko ororen muinean kausa eta efektuaren arteko erlazioa dago. Aldagai independenteak zuk kontrolatzen edo aldatzen duzun sarrera edo 'kausa' adierazten du, eta mendeko aldagaia, berriz, aldaketa horiei erantzuten dien heinean behatu eta neurtzen duzun 'efektua' edo emaitza da.
Aljebrak eragiketa-arau abstraktuetan eta ezezagunak ebazteko sinboloen manipulazioan jartzen du arreta, geometriak espazioaren propietate fisikoak aztertzen ditu, besteak beste, figuren tamaina, forma eta posizio erlatiboa. Elkarrekin, matematikaren oinarria osatzen dute, erlazio logikoak egitura bisualetan bihurtuz.
Angeluak eta maldak lerro baten "malda" kuantifikatzen dute, baina hizkuntza matematiko desberdinak erabiltzen dituzte. Angelu batek bi lerro gurutzatuen arteko biraketa zirkularra gradu edo radianetan neurtzen duen bitartean, maldak "igoera" bertikala neurtzen du "lerro" horizontalarekiko, erlazio numeriko gisa.
Matematikan, zenbaki arrazionalen eta irrazionalen arteko desberdintasunak azaltzen dituen konparazioa da, haien definizioak, hamartar portaera, adibide arruntak eta zenbaki errealen sisteman duten kokapena azpimarratuz, ikasle eta hezitzaileei oinarrizko kontzeptu numeriko horiek ulertzen laguntzeko.
