Laplace eta Fourier transformatuak ezinbesteko tresnak dira ekuazio diferentzialak denbora-domeinu zailetik maiztasun-domeinu aljebraiko sinpleago batera eramateko. Fourier transformatua egoera egonkorreko seinaleak eta uhin-ereduak aztertzeko aukera nagusia den bitartean, Laplace transformatua orokortze indartsuagoa da, portaera iragankorrak eta sistema ezegonkorrak kudeatzen dituena, kalkuluari gainbehera-faktore bat gehituz.
Denboraren funtzio bat maiztasun angeluar konplexuaren funtzio bihurtzen duen transformazio integrala.
Funtzio edo seinale bat bere osagai diren maiztasunetan deskonposatzen duen tresna matematikoa.
| Ezaugarria | Laplace-ren transformatua | Fourierren transformatua |
|---|---|---|
| Aldagaia | $s konplexua = \sigma + j\omega$ | Irudimenezko hutsa $j\omega$ |
| Denbora-domeinua | $0$-tik $\infty$-ra (normalean) | $-\infty$-tik $+\infty$-ra |
| Sistemaren Egonkortasuna | Egonkorra eta ezegonkorra maneiatzen du | Egoera egonkor egonkorra bakarrik kudeatzen du |
| Hasierako Baldintzak | Erraz txertatzen da | Normalean baztertua/zero |
| Aplikazio nagusia | Kontrol Sistemak eta Trantsizioak | Seinaleen Prozesamendua eta Komunikazioa |
| Konbergentzia | Seguruenik $e^{-\sigma t}$ dela eta | Integragarritasun absolutua behar du |
Fourier transformatuak askotan arazoak izaten ditu finkatzen ez diren funtzioekin, hala nola, arrapala soil batekin edo hazkunde-kurba esponentzial batekin. Laplace transformatuak hau konpontzen du berretzaileari 'zati erreal' bat ($\sigma$) sartuz, eta indar moteltzaile indartsu gisa jokatzen du integrala konbergitzera behartuz. Fourier transformatua Laplace transformatuaren 'zati' espezifiko gisa har dezakezu, non moteltze hori zero den.
Zirkuitu elektriko bateko etengailu bat sakatzen baduzu, "txinparta" edo bat-bateko igoera Laplacek hobekien modelatzen duen gertaera iragankorra da. Hala ere, zirkuitua ordubetez martxan egon ondoren, Fourier erabiltzen duzu 60Hz-ko burrunba konstantea aztertzeko. Fourierri axola zaio seinalea zer den, eta Laplaceri, berriz, seinalea nola *hasi* den eta azkenean lehertu edo egonkortuko den.
Fourierren analisia maiztasun-lerro unidimentsional batean oinarritzen da. Laplaceren analisia bi dimentsioko 's plano' batean. Dimentsio gehigarri honek ingeniariei 'poloak' eta 'zeroak' mapatzea ahalbidetzen die, hau da, begirada batean esaten dizuten puntuak zubi bat segurtasunez kulunkatuko den edo bere pisuaren azpian eroriko den.
Bi transformazioek bereizketa biderketa bihurtzeko propietate "magikoa" partekatzen dute. Denboraren domeinuan, 3. mailako ekuazio diferentzial bat ebaztea kalkuluaren amesgaiztoa da. Laplace edo Fourier domeinuetan, segundo gutxitan ebatzi daitekeen zatikietan oinarritutako aljebra-problema sinple bihurtzen da.
Bi eragiketa matematiko dira, guztiz loturarik gabeak.
Lehengusuak dira. Laplace-ren transformatu bat hartu eta ardatz irudizkoan bakarrik ebaluatzen baduzu ($s = j\omega$), Fourier-en transformatua aurkitu duzu.
Fourierren transformatua musika eta soinurako bakarrik da.
Audioan ospetsua den arren, ezinbestekoa da mekanika kuantikoan, irudi medikoan (MRI) eta baita metalezko plaka batean beroa nola hedatzen den aurreikusteko ere.
Laplacek zero denboran hasten diren funtzioetarako bakarrik funtzionatzen du.
'Laplaceren Transformatu Unilaterala' ohikoena den arren, denbora guztia hartzen duen bertsio 'Bilateral' bat dago, nahiz eta ingeniaritzan askoz gutxiago erabiltzen den.
Beti alda dezakezu libreki haien artean.
Ez beti. Funtzio batzuek Laplace-ren transformatua dute, baina ez Fourier-ren transformaturik, ez dituztelako Fourier-en konbergentziarako beharrezkoak diren Dirichlet-en baldintzak betetzen.
Erabili Laplace transformatua kontrol-sistemak diseinatzen dituzunean, hasierako baldintzekin ekuazio diferentzialak ebazten dituzunean edo ezegonkorrak izan daitezkeen sistemekin ari zarenean. Aukeratu Fourier transformatua seinale egonkor baten maiztasun-edukia aztertu behar duzunean, hala nola audio-ingeniaritzan edo komunikazio digitaletan.
Adierazpen arrazional guztiak adierazpen aljebraikoen aterki zabalaren barruan sartzen diren arren, azpimota oso espezifiko eta mugatu bat osatzen dute. Adierazpen aljebraikoa erroak eta berretzaile anitzak barne hartzen dituen kategoria zabala da, adierazpen arrazionala, berriz, bi polinomioren zatidura gisa definitzen den bitartean, aldagaiz osatutako zatiki baten antzera.
Eredu matematiko ororen muinean kausa eta efektuaren arteko erlazioa dago. Aldagai independenteak zuk kontrolatzen edo aldatzen duzun sarrera edo 'kausa' adierazten du, eta mendeko aldagaia, berriz, aldaketa horiei erantzuten dien heinean behatu eta neurtzen duzun 'efektua' edo emaitza da.
Aljebrak eragiketa-arau abstraktuetan eta ezezagunak ebazteko sinboloen manipulazioan jartzen du arreta, geometriak espazioaren propietate fisikoak aztertzen ditu, besteak beste, figuren tamaina, forma eta posizio erlatiboa. Elkarrekin, matematikaren oinarria osatzen dute, erlazio logikoak egitura bisualetan bihurtuz.
Angeluak eta maldak lerro baten "malda" kuantifikatzen dute, baina hizkuntza matematiko desberdinak erabiltzen dituzte. Angelu batek bi lerro gurutzatuen arteko biraketa zirkularra gradu edo radianetan neurtzen duen bitartean, maldak "igoera" bertikala neurtzen du "lerro" horizontalarekiko, erlazio numeriko gisa.
Matematikan, zenbaki arrazionalen eta irrazionalen arteko desberdintasunak azaltzen dituen konparazioa da, haien definizioak, hamartar portaera, adibide arruntak eta zenbaki errealen sisteman duten kokapena azpimarratuz, ikasle eta hezitzaileei oinarrizko kontzeptu numeriko horiek ulertzen laguntzeko.
