Faktorialak eta berretzaileak hazkunde numeriko azkarra eragiten duten eragiketa matematikoak dira, baina eskala desberdina dute. Faktorial batek zenbaki oso independenteen sekuentzia beherakor bat biderkatzen du, berretzaileak, berriz, oinarri konstante beraren biderketa errepikatua dakar, funtzio eta sekuentzietan azelerazio-tasa desberdinak sortuz.
1etik n zenbaki jakin baterainoko zenbaki oso positibo guztien biderkadura.
Oinarri-zenbaki bat bere buruarekin biderkatzeko prozesua, kopuru jakin batean.
| Ezaugarria | Faktoriala | Berretzailea |
|---|---|---|
| Notazioa | n! | b^n |
| Eragiketa mota | Biderketa txikitzea | Biderketa konstantea |
| Hazkunde-tasa | Superesponentziala (Azkarragoa) | Esponentziala (Motelagoa) |
| Domeinua | Normalean zenbaki oso ez-negatiboak | Zenbaki errealak eta konplexuak |
| Oinarrizko esanahia | Elementuak antolatzea | Eskalatzea/Eskalatzea handitzea |
| Zero Balioa | 0! = 1 | b^0 = 1 |
Imajinatu berretzaile bat abiadura handiko tren egonkor bat bezala; $2^n$ baduzu, tamaina bikoiztu egiten duzu urrats bakoitzean. Faktorial bat igotzen doan heinean erregai gehiago irabazten duen suziri baten antzekoagoa da; urrats bakoitzean, aurreko urratsa baino zenbaki handiago batekin biderkatzen duzu. $2^4$ 16 den bitartean, $4!$ 24 da, eta bien arteko aldea izugarri handitzen da zenbakiak gora egin ahala.
$5^3$ bezalako adierazpen esponentzial batean, 5 zenbakia da ikuskizuneko 'izarra', hiru aldiz agertzen baita ($5 \times 5 \times 5$). $5!$ bezalako faktorial batean, 1etik 5era bitarteko zenbaki oso guztiek parte hartzen dute ($5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$). Faktorial bateko 'biderkatzailea' n handitzen den heinean handitzen denez, faktorialek edozein funtzio esponentzial gainditzen dute azkenean, berretzailearen oinarria zenbat handia izan arren.
Berretzaileek beren uneko tamainaren arabera aldatzen diren sistemak deskribatzen dituzte, eta horregatik dira aproposak birus bat hiri batean nola hedatzen den jarraitzeko. Faktorialek aukera eta ordenaren logika deskribatzen dute. 10 liburu desberdin badituzu, faktoriala da apal batean lerrokatzeko 3.628.800 modu desberdin daudela esaten dizuna.
Informatikan, hauek erabiltzen ditugu algoritmo batek exekutatzen zenbat denbora behar duen neurtzeko. 'Denbora esponentzialeko' algoritmoa oso motela eta eraginkorra ez dena da datu handietarako. Hala ere, 'denbora faktoriala' algoritmoa askoz okerragoa da, askotan superordenagailu modernoek ere ezinezkoa bihurtzen baita sarrerako tamaina elementu dozena batzuetara iristen denean.
100^n bezalako berretzaile handi bat beti izango da n! baino handiagoa.
Hau faltsua da. $100^n$ hasieran askoz handiagoa izan arren, azkenean faktorialeko n-ren balioa 100 baino handiagoa izango da. n nahikoa handia denean, faktorialak beti gaindituko du berretzailea.
Faktorialak zenbaki txikietarako bakarrik erabiltzen dira.
Antolamendu txikietarako erabiltzen ditugun arren, funtsezkoak dira goi-mailako fisikan (Mekanika Estatistikoa) eta milaka milioi aldagai barne hartzen dituen probabilitate konplexuan.
Zenbaki negatiboek faktorialak dituzte, berretzaileak dituzten bezala.
Zenbaki oso negatiboetarako ez daude faktorial estandarrak definituta. 'Gamma funtzioak' kontzeptua beste zenbaki batzuetara zabaltzen duen arren, (-3)! bezalako faktorial sinple bat ez dago oinarrizko matematikan.
0! = 0, ezerez biderkatzen ari zarelako.
Ohiko akatsa da 0! 0 dela pentsatzea. 1 bezala definitzen da multzo huts bat antolatzeko modu bakarra dagoelako: antolamendurik gabe.
Erabili berretzaileak denboran zeharreko hazkunde edo beherakada errepikatuarekin ari zarenean. Erabili faktorialak elementu multzo desberdin bat ordenatzeko, antolatzeko edo konbinatzeko modu kopuru osoa kalkulatu behar duzunean.
Adierazpen arrazional guztiak adierazpen aljebraikoen aterki zabalaren barruan sartzen diren arren, azpimota oso espezifiko eta mugatu bat osatzen dute. Adierazpen aljebraikoa erroak eta berretzaile anitzak barne hartzen dituen kategoria zabala da, adierazpen arrazionala, berriz, bi polinomioren zatidura gisa definitzen den bitartean, aldagaiz osatutako zatiki baten antzera.
Eredu matematiko ororen muinean kausa eta efektuaren arteko erlazioa dago. Aldagai independenteak zuk kontrolatzen edo aldatzen duzun sarrera edo 'kausa' adierazten du, eta mendeko aldagaia, berriz, aldaketa horiei erantzuten dien heinean behatu eta neurtzen duzun 'efektua' edo emaitza da.
Aljebrak eragiketa-arau abstraktuetan eta ezezagunak ebazteko sinboloen manipulazioan jartzen du arreta, geometriak espazioaren propietate fisikoak aztertzen ditu, besteak beste, figuren tamaina, forma eta posizio erlatiboa. Elkarrekin, matematikaren oinarria osatzen dute, erlazio logikoak egitura bisualetan bihurtuz.
Angeluak eta maldak lerro baten "malda" kuantifikatzen dute, baina hizkuntza matematiko desberdinak erabiltzen dituzte. Angelu batek bi lerro gurutzatuen arteko biraketa zirkularra gradu edo radianetan neurtzen duen bitartean, maldak "igoera" bertikala neurtzen du "lerro" horizontalarekiko, erlazio numeriko gisa.
Matematikan, zenbaki arrazionalen eta irrazionalen arteko desberdintasunak azaltzen dituen konparazioa da, haien definizioak, hamartar portaera, adibide arruntak eta zenbaki errealen sisteman duten kokapena azpimarratuz, ikasle eta hezitzaileei oinarrizko kontzeptu numeriko horiek ulertzen laguntzeko.
