El sinus i el cosinus són els components fonamentals de la trigonometria, que representen les coordenades horitzontals i verticals d'un punt que es mou al voltant d'un cercle unitari. Tot i que comparteixen la mateixa forma i propietats periòdiques, es distingeixen per un canvi de fase de 90 graus, amb el sinus començant a zero i el cosinus començant al seu valor màxim.
Una funció trigonomètrica que representa la coordenada y d'un punt de la circumferència unitària.
Una funció trigonomètrica que representa la coordenada x d'un punt de la circumferència unitària.
| Funcionalitat | Sinus (sin) | Cosinus (cos) |
|---|---|---|
| Valor del cercle unitari | coordenada y | coordenada x |
| Valor a 0° | 0 | 1 |
| Valor a 90° | 1 | 0 |
| Paritat | Funció senar | Funció parell |
| Raó del triangle rectangle | Oposat / Hipotenusa | Adjacent / Hipotenusa |
| Derivat | cos(x) | -sin(x) |
| Integral | -cos(x) + C | sin(x) + C |
Quan visualitzeu un punt movent-se al voltant d'un cercle amb un radi d'un, el sinus i el cosinus en segueixen la posició. El sinus mesura la distància amunt o avall del punt respecte al centre, mentre que el cosinus mesura la distància a l'esquerra o a la dreta que s'ha mogut. Com que tots dos descriuen el mateix moviment circular, són essencialment la mateixa ona vista des de diferents punts de partida.
Si representeu gràficament ambdues funcions, veureu dues ones idèntiques en forma de "S" que es repeteixen cada 360 graus. L'única diferència és que l'ona cosinus sembla que s'hagi desplaçat cap a l'esquerra 90 graus en comparació amb l'ona sinusoidal. En termes tècnics, diem que estan desfasades en π/2 radians, cosa que les converteix en "cofuncions" l'una de l'altra.
Per a qualsevol persona que aprengui geometria bàsica, aquestes funcions es defineixen pels costats d'un triangle rectangle. El sinus se centra en el costat "oposat" a l'angle que esteu mirant, mentre que el cosinus se centra en el costat "adjacent" que ajuda a formar l'angle. Ambdues funcions utilitzen la hipotenusa com a denominador, garantint que els seus valors es mantinguin entre -1 i 1.
En càlcul, aquestes funcions tenen una bonica relació circular a través de la diferenciació. A mesura que el valor del sinus augmenta, la seva taxa de canvi es descriu perfectament pel valor del cosinus. Per contra, a mesura que el cosinus canvia, la seva taxa de canvi segueix un patró sinusoidal reflectit. Això les fa indispensables per modelar qualsevol cosa que oscil·li, com les ones sonores o els pèndols.
El sinus i el cosinus són tipus d'ones completament diferents.
En realitat tenen la mateixa forma matemàtica, coneguda com a sinusoide. Si desplaceu una ona sinusoidal 90 graus, es converteix perfectament en una ona cosinusoidal.
Només pots utilitzar-los per a triangles amb angles de 90 graus.
Tot i que s'ensenyen utilitzant triangles rectangles, el sinus i el cosinus són funcions de qualsevol angle i s'utilitzen per resoldre la longitud dels costats en triangles de totes les formes.
El sinus sempre representa la "y" i el cosinus sempre la "x".
En coordenades polars estàndard, això és cert. Tanmateix, si gireu el sistema de coordenades, podeu assignar qualsevol de les dues funcions a qualsevol dels dos eixos, depenent d'on mesureu l'angle.
Els valors del sinus i del cosinus poden ser més grans que un.
Per a angles de nombres reals, els valors estan estrictament atrapats entre -1 i 1. Només en el regne dels nombres complexos aquestes funcions poden superar aquests límits.
Feu servir el sinus quan es tracti d'altures verticals, forces verticals o oscil·lacions que comencen des d'un punt mig neutre. Trieu el cosinus quan mesureu distàncies horitzontals, projeccions laterals o cicles que comencen en un pic màxim.
Mentre que l'àlgebra se centra en les regles abstractes de les operacions i la manipulació de símbols per resoldre incògnites, la geometria explora les propietats físiques de l'espai, incloent-hi la mida, la forma i la posició relativa de les figures. Juntes, formen la base de les matemàtiques, traduint les relacions lògiques en estructures visuals.
L'angle i el pendent quantifiquen el "pendent" d'una línia, però parlen llenguatges matemàtics diferents. Mentre que un angle mesura la rotació circular entre dues línies que es creuen en graus o radians, el pendent mesura l'"ascens" vertical en relació amb el "desnivell" horitzontal com a relació numèrica.
Tot i que puguin semblar oposats matemàtics, el càlcul diferencial i l'integral són en realitat dues cares de la mateixa moneda. El càlcul diferencial se centra en com canvien les coses en un moment específic, com ara la velocitat instantània d'un cotxe, mentre que el càlcul integral suma aquests petits canvis per trobar un resultat total, com ara la distància total recorreguda.
Mentre que un cercle es defineix per un únic punt central i un radi constant, una el·lipse amplia aquest concepte a dos punts focals, creant una forma allargada on la suma de distàncies a aquests focus roman constant. Tècnicament, cada cercle és un tipus especial d'el·lipse on els dos focus se superposen perfectament, convertint-los en les figures més relacionades en la geometria de coordenades.
Tot i que ambdós sistemes tenen com a objectiu principal localitzar ubicacions en un pla bidimensional, aborden la tasca des de filosofies geomètriques diferents. Les coordenades cartesianes es basen en una graella rígida de distàncies horitzontals i verticals, mentre que les coordenades polars se centren en la distància i l'angle directes des d'un punt fix central.
