En el món de les matemàtiques, cada funció és una relació, però no totes les relacions qualifiquen com a funcions. Mentre que una relació simplement descriu qualsevol associació entre dos conjunts de nombres, una funció és un subconjunt disciplinat que requereix que cada entrada porti a exactament una sortida específica.
Qualsevol conjunt de parells ordenats que defineix una connexió entre entrades i sortides.
Un tipus específic de relació on cada entrada té una única sortida.
| Funcionalitat | Relació | Funció |
|---|---|---|
| Definició | Qualsevol col·lecció de parells ordenats | Una regla que assigna una sortida per entrada |
| Relació d'entrada/sortida | Es permet l'ús d'un a molts | Només d'un a un o de molts a un |
| Prova de línia vertical | Pot fallar (es talla dues o més vegades) | Ha de passar (es creua una o menys vegades) |
| Exemples gràfics | Cercles, paràboles laterals, corbes en S | Línies, paràboles ascendents, ones sinusoïdals |
| Àmbit matemàtic | Categoria general | Subcategoria de relacions |
| Previsibilitat | Baix (Múltiples respostes possibles) | Alt (Una resposta definitiva) |
La principal diferència rau en el comportament del domini. En una relació, podeu introduir el número 5 i obtenir 10 o 20, creant un escenari "d'un a molts". Una funció prohibeix aquesta ambigüitat; si introduïu 5, heu d'obtenir un resultat únic i coherent cada vegada, garantint que el sistema sigui determinista.
Podeu detectar la diferència a l'instant en un gràfic utilitzant la prova de la línia vertical. Si podeu dibuixar una línia vertical en qualsevol lloc del gràfic que toqui la corba en més d'un punt, esteu observant una relació. Les funcions són més "racionalitzades" i mai no es dobleguen horitzontalment sobre si mateixes.
Pensa en l'alçada d'una persona al llarg del temps; a qualsevol edat específica, una persona té exactament una alçada, cosa que la converteix en una funció. Per contra, pensa en una llista de persones i els cotxes que posseeixen. Com que una persona pot tenir tres cotxes diferents, aquesta connexió és una relació però no una funció.
Les funcions són les eines fonamentals del càlcul i la física perquè la seva predictibilitat ens permet calcular les taxes de canvi. Fem servir la notació 'f(x)' específicament per a les funcions per mostrar que la sortida depèn únicament de 'x'. Les relacions són útils en geometria per definir formes com les el·lipses que no segueixen aquestes regles estrictes.
Una funció no pot tenir dues entrades diferents que donin com a resultat la mateixa sortida.
Això està permès. Per exemple, en la funció f(x) = x², tant -2 com 2 donen com a resultat 4. Aquesta és una relació de "molts a un", que és perfectament vàlida per a una funció.
Les equacions per a cercles són funcions.
Els cercles són relacions, no funcions. Si dibuixes una línia vertical a través d'un cercle, toca la part superior i la inferior, és a dir, un valor de x té dos valors de y.
Els termes «relació» i «funció» es poden utilitzar indistintament.
Són termes imbricats. Tot i que es pot anomenar una funció relació, anomenar una relació general funció és matemàticament incorrecte si viola la regla d'una sortida.
Les funcions sempre s'han d'escriure com a equacions.
Les funcions es poden representar mitjançant taules, gràfics o fins i tot conjunts de coordenades. Sempre que es mantingui la regla d'"una sortida per entrada", el format no importa.
Feu servir una relació quan necessiteu descriure una connexió general o una forma geomètrica que es repeteix en bucle. Canvieu a una funció quan necessiteu un model predictible on cada acció doni lloc a una reacció específica i repetible.
Mentre que l'àlgebra se centra en les regles abstractes de les operacions i la manipulació de símbols per resoldre incògnites, la geometria explora les propietats físiques de l'espai, incloent-hi la mida, la forma i la posició relativa de les figures. Juntes, formen la base de les matemàtiques, traduint les relacions lògiques en estructures visuals.
L'angle i el pendent quantifiquen el "pendent" d'una línia, però parlen llenguatges matemàtics diferents. Mentre que un angle mesura la rotació circular entre dues línies que es creuen en graus o radians, el pendent mesura l'"ascens" vertical en relació amb el "desnivell" horitzontal com a relació numèrica.
Tot i que puguin semblar oposats matemàtics, el càlcul diferencial i l'integral són en realitat dues cares de la mateixa moneda. El càlcul diferencial se centra en com canvien les coses en un moment específic, com ara la velocitat instantània d'un cotxe, mentre que el càlcul integral suma aquests petits canvis per trobar un resultat total, com ara la distància total recorreguda.
Mentre que un cercle es defineix per un únic punt central i un radi constant, una el·lipse amplia aquest concepte a dos punts focals, creant una forma allargada on la suma de distàncies a aquests focus roman constant. Tècnicament, cada cercle és un tipus especial d'el·lipse on els dos focus se superposen perfectament, convertint-los en les figures més relacionades en la geometria de coordenades.
Tot i que ambdós sistemes tenen com a objectiu principal localitzar ubicacions en un pla bidimensional, aborden la tasca des de filosofies geomètriques diferents. Les coordenades cartesianes es basen en una graella rígida de distàncies horitzontals i verticals, mentre que les coordenades polars se centren en la distància i l'angle directes des d'un punt fix central.
