ট্যানজেন্ট এবং কোট্যানজেন্ট হল পারস্পরিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশন যা একটি সমকোণী ত্রিভুজের পাগুলির মধ্যে সম্পর্ক বর্ণনা করে। ট্যানজেন্ট বিপরীত বাহুর সংলগ্ন বাহুর অনুপাতের উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে, কোট্যানজেন্ট এই দৃষ্টিকোণটিকে উল্টে দেয়, সংলগ্ন বাহুর বিপরীত বাহুর অনুপাত প্রদান করে।
একটি কোণের সাইন এবং তার কোসাইনের অনুপাত, যা একটি রেখার ঢালকে প্রতিনিধিত্ব করে।
ট্যানজেন্ট ফাংশনের পারস্পরিক, যা কোসাইন এবং সাইনের অনুপাতকে প্রতিনিধিত্ব করে।
| বৈশিষ্ট্য | ট্যানজেন্ট (ট্যান) | কোট্যানজেন্ট (খাট) |
|---|---|---|
| ত্রিকোণমিতিক অনুপাত | পাপ (x) / cos (x) | cos(x) / পাপ(x) |
| ত্রিভুজ অনুপাত | বিপরীত / সংলগ্ন | সংলগ্ন / বিপরীত |
| অনির্ধারিত সময়ে | π/2 + nπ | nπ |
| ৪৫° এ মান | ১ | ১ |
| ফাংশন দিকনির্দেশনা | ক্রমবর্ধমান (উপসর্গবিহীনদের মধ্যে) | হ্রাস (উপসর্গবিহীনদের মধ্যে) |
| ডেরিভেটিভ | সেকেন্ড²(x) | -csc²(x) |
| পারস্পরিক সম্পর্ক | ১ / খাট(x) | ১ / ট্যান(x) |
ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্ট দুটি স্বতন্ত্র বন্ধন ভাগ করে। প্রথমত, তারা পারস্পরিক; যদি একটি কোণের ট্যানজেন্ট 3/4 হয়, তাহলে কোট্যাঞ্জেন্ট স্বয়ংক্রিয়ভাবে 4/3 হয়। দ্বিতীয়ত, তারা সহ-কার্যকরী, অর্থাৎ একটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণের ট্যানজেন্ট অন্য অ-সমকোণের কোট্যাঞ্জেন্টের সাথে হুবহু মিলে যায়।
ট্যানজেন্ট গ্রাফটি তার ঊর্ধ্বমুখী-বাঁকানো আকৃতির জন্য বিখ্যাত যা অ্যাসিম্পটোটস নামক উল্লম্ব দেয়ালের মধ্যে পুনরাবৃত্তি করে। কোট্যাঞ্জেন্ট দেখতে বেশ একই রকম কিন্তু দিকটি প্রতিফলিত করে, বাম থেকে ডানে যাওয়ার সময় নীচের দিকে বাঁকানো হয়। যেহেতু তাদের অনির্ধারিত বিন্দুগুলি স্তব্ধ, যেখানে ট্যানজেন্টের একটি অ্যাসিম্পটোট থাকে, কোট্যাঞ্জেন্টের প্রায়শই একটি শূন্য-ক্রসিং থাকে।
একটি স্থানাঙ্ক সমতলে, ট্যানজেন্ট হল উৎপত্তিস্থলের মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখার 'খাড়াভাব' বা ঢাল বর্ণনা করার সবচেয়ে স্বজ্ঞাত উপায়। কোট্যাঞ্জেন্ট, যদিও মৌলিক ঢাল গণনায় কম দেখা যায়, জরিপ এবং নেভিগেশনে গুরুত্বপূর্ণ, যখন উল্লম্ব উত্থান হল পরিচিত ধ্রুবক এবং অনুভূমিক দূরত্ব হল সেই পরিবর্তনশীল যার সমাধান করা হচ্ছে।
পরিবর্তনের হারের ক্ষেত্রে, ট্যানজেন্টটি সেকেন্ট ফাংশনের সাথে যুক্ত, যখন কোট্যাঞ্জেন্টটি কোসেক্যান্ট ফাংশনের সাথে যুক্ত। তাদের ডেরিভেটিভ এবং ইন্টিগ্রালগুলি এই প্রতিসাম্যকে প্রতিফলিত করে, কোট্যাঞ্জেন্ট প্রায়শই তার ক্রিয়াকলাপে একটি নেতিবাচক চিহ্ন তুলে ধরে, যা সাইন এবং কোসাইনের মধ্যে সম্পর্কের ক্ষেত্রে দেখা আচরণকে প্রতিফলিত করে।
ট্যানজেন্ট এবং কোট্যানজেন্টের সময়কাল 360 ডিগ্রি।
সাইন এবং কোসাইনের বিপরীতে, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্ট প্রতি 180 ডিগ্রি (π রেডিয়ান) তাদের চক্র পুনরাবৃত্তি করে। এর কারণ হল x এবং y এর অনুপাত প্রতিটি অর্ধ-বৃত্তের পুনরাবৃত্তি করে।
কোট্যাঞ্জেন্ট হল কেবল বিপরীত ট্যানজেন্ট ($tan^{-1}$)।
এটি একটি প্রধান বিভ্রান্তির বিষয়। কোট্যাঞ্জেন্ট হল *গুণাত্মক বিপরীত* ($1/tan$), যেখানে $tan^{-1}$ (arctan) হল *বিপরীত ফাংশন* যা একটি অনুপাত থেকে একটি কোণ বের করতে ব্যবহৃত হয়।
আধুনিক গণিতে কোট্যাঞ্জেন্ট খুব কমই ব্যবহৃত হয়।
যদিও ক্যালকুলেটরগুলি প্রায়শই একটি নির্দিষ্ট 'cot' বোতাম বাদ দেয়, উচ্চ-স্তরের ক্যালকুলাস, মেরু স্থানাঙ্ক এবং জটিল বিশ্লেষণে এই ফাংশনটি অপরিহার্য।
ট্যানজেন্ট শুধুমাত্র 0 থেকে 90 ডিগ্রির কোণের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে।
ট্যানজেন্ট প্রায় সকল বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়, যদিও এটি বিভিন্ন চতুর্ভুজে ভিন্নভাবে আচরণ করে, চতুর্ভুজ I এবং III-তে ধনাত্মক মান দেখায়।
ঢাল গণনা করার সময় অথবা অনুভূমিক দূরত্বের উপর ভিত্তি করে উল্লম্ব উচ্চতা খুঁজে বের করার সময় ট্যানজেন্ট ব্যবহার করুন। ক্যালকুলাসে পারস্পরিক পরিচয় নিয়ে কাজ করার সময় অথবা যখন আপনার ত্রিভুজের 'বিপরীত' দিকটি পরিচিত রেফারেন্স দৈর্ঘ্য হয় তখন কোট্যানজেন্ট বেছে নিন।
যদিও উভয় পদই দুটি সেটের মধ্যে উপাদানগুলিকে কীভাবে ম্যাপ করা হয় তা বর্ণনা করে, তারা সমীকরণের বিভিন্ন দিককে সম্বোধন করে। এক-থেকে-এক (ইনজেক্টিভ) ফাংশনগুলি ইনপুটগুলির স্বতন্ত্রতার উপর ফোকাস করে, নিশ্চিত করে যে কোনও দুটি পথ একই গন্তব্যে নিয়ে যায় না, অন্যদিকে (অনুমানিক) ফাংশনগুলি নিশ্চিত করে যে প্রতিটি সম্ভাব্য গন্তব্যে আসলে পৌঁছানো হয়েছে।
অভিসারী এবং বিমুখ ধারার মধ্যে পার্থক্য নির্ধারণ করে যে অসীম সংখ্যার যোগফল একটি নির্দিষ্ট, সসীম মানে স্থির হয় নাকি অসীমের দিকে ঘুরে বেড়ায়। যদিও একটি অভিসারী ধারা ক্রমশ তার পদগুলিকে 'সঙ্কুচিত' করে যতক্ষণ না তাদের মোট সংখ্যা একটি স্থির সীমায় পৌঁছায়, একটি বিমুখ ধারা স্থিতিশীল হতে ব্যর্থ হয়, হয় আবদ্ধ না হয়ে বৃদ্ধি পায় অথবা চিরতরে দোদুল্যমান হয়।
যদিও উভয় সিস্টেমই দ্বি-মাত্রিক সমতলে অবস্থান চিহ্নিত করার প্রাথমিক উদ্দেশ্য পূরণ করে, তারা বিভিন্ন জ্যামিতিক দর্শন থেকে কাজটি সম্পন্ন করে। কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কগুলি অনুভূমিক এবং উল্লম্ব দূরত্বের একটি কঠোর গ্রিডের উপর নির্ভর করে, যেখানে পোলার স্থানাঙ্কগুলি একটি কেন্দ্রীয় স্থির বিন্দু থেকে সরাসরি দূরত্ব এবং কোণের উপর ফোকাস করে।
কোণ এবং ঢাল উভয়ই একটি রেখার 'খাড়াতা' পরিমাপ করে, কিন্তু তারা ভিন্ন গাণিতিক ভাষা ব্যবহার করে। একটি কোণ দুটি ছেদকারী রেখার মধ্যে বৃত্তাকার ঘূর্ণনকে ডিগ্রি বা রেডিয়ানে পরিমাপ করে, অন্যদিকে ঢাল অনুভূমিক 'রান'-এর সাপেক্ষে উল্লম্ব 'উত্থান'কে সংখ্যাসূচক অনুপাত হিসাবে পরিমাপ করে।
গড় এবং প্রচুরকের মধ্যে গাণিতিক পার্থক্য ব্যাখ্যা করা হয়েছে এই তুলনায়, যা ডেটা সেট বর্ণনা করার জন্য ব্যবহৃত কেন্দ্রীয় প্রবণতার দুটি মূল পরিমাপ। এটি কীভাবে এগুলো গণনা করা হয়, বিভিন্ন ধরনের ডেটার প্রতি এগুলোর প্রতিক্রিয়া কেমন, এবং বিশ্লেষণে কোনটি সবচেয়ে কার্যকর তা নিয়ে আলোচনা করে।
