এই তুলনাটি পূর্ণসংখ্যা এবং মূলদ সংখ্যার মধ্যে গাণিতিক পার্থক্য ব্যাখ্যা করে, দেখায় প্রতিটি সংখ্যার ধরন কীভাবে সংজ্ঞায়িত হয়, বিস্তৃত সংখ্যা ব্যবস্থার মধ্যে তাদের সম্পর্ক কেমন, এবং কোন পরিস্থিতিতে কোন শ্রেণীবিভাগ সংখ্যাগত মান বর্ণনা করার জন্য বেশি উপযুক্ত।
পূর্ণ সংখ্যা যাতে ঋণাত্মক, শূন্য এবং ধনাত্মক সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত থাকে কিন্তু ভগ্নাংশ বা দশমিক থাকে না।
যে সংখ্যাগুলোকে দুটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ হিসেবে লেখা যায়, যেখানে হর শূন্য নয়।
| বৈশিষ্ট্য | পূর্ণসংখ্যা | যুক্তিসঙ্গত |
|---|---|---|
| সংজ্ঞা | সম্পূর্ণ সংখ্যা যার কোনো অংশ নেই | দুইটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ |
| প্রতীক সেট | ℤ (পূর্ণসংখ্যা) | মূলদ সংখ্যা (ℚ) |
| পূর্ণসংখ্যা অন্তর্ভুক্ত? | হ্যাঁ (এটি পূর্ণসংখ্যা) | হ্যাঁ (সব পূর্ণসংখ্যা অন্তর্ভুক্ত) |
| অন্তর্ভুক্ত অ-পূর্ণসংখ্যা ভগ্নাংশ | না | হ্যাঁ |
| দশমিক উপস্থাপনা | ভগ্নাংশ/দশমিক অংশ নেই | পুনরাবৃত্তিমূলক বা সসীম হতে পারে |
| সাধারণ ফর্মসমূহ | …,−২, −১, ০, ১, ২,… | a/b যেখানে b ≠ ০ |
| উদাহরণ | -৫, ০, ৭ | ১/৩, ৪.৫, -২/৫ |
পূর্ণসংখ্যা হল সম্পূর্ণ পূর্ণ সংখ্যা যার কোনো ভগ্নাংশ অংশ নেই, যার মধ্যে রয়েছে সকল ঋণাত্মক সংখ্যা, শূন্য এবং ধনাত্মক সংখ্যা। মূলদ সংখ্যা হল এমন যেকোনো সংখ্যা যা একটি পূর্ণসংখ্যাকে অন্য একটি অশূন্য পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করে লেখা যায়, অর্থাৎ মূলদ সংখ্যার মধ্যে পূর্ণসংখ্যাগুলো অন্তর্ভুক্ত থাকে যখন হর হয় এক।
পূর্ণসংখ্যাগুলো মূলদ সংখ্যার একটি উপসেট গঠন করে, যার অর্থ প্রতিটি পূর্ণসংখ্যাকে হর এক বিশিষ্ট ভগ্নাংশ হিসেবে প্রকাশ করে মূলদ সংখ্যা হিসেবে গণ্য করা যায়। মূলদ সংখ্যাগুলোর মধ্যে অপূর্ণসংখ্যা ভগ্নাংশও অন্তর্ভুক্ত থাকে, যা সেটটিকে কেবল পূর্ণ মানের বাইরেও প্রসারিত করে।
একটি পূর্ণসংখ্যার কখনোই ভগ্নাংশ বা দশমিক অংশ থাকে না, তাই এর দশমিক প্রকাশ সঙ্গে সঙ্গেই শেষ হয়। মূলদ সংখ্যাগুলো দশমিক হিসেবে দেখা দিতে পারে যা হয় শেষ হয় অথবা একটি প্যাটার্ন পুনরাবৃত্তি করে, কারণ একটি পূর্ণসংখ্যাকে অন্য একটি পূর্ণসংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে একটি অনুমানযোগ্য দশমিক বিস্তার পাওয়া যায়।
পূর্ণসংখ্যা সাধারণত বিচ্ছিন্ন গণনা, ধাপ এবং এমন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয় যেখানে ভগ্নাংশের মান প্রয়োজন হয় না। মূলদ সংখ্যা সম্পূর্ণর অংশ বর্ণনা, অনুপাত, অনুপাত এবং ভগ্নাংশযুক্ত পরিমাপের ক্ষেত্রে কার্যকর।
পূর্ণসংখ্যা এবং মূলদ সংখ্যা সম্পূর্ণ আলাদা শ্রেণী।
পূর্ণসংখ্যাগুলো মূলদ সংখ্যার একটি উপগোষ্ঠী, কারণ যেকোনো পূর্ণসংখ্যাকে হর এক সহ একটি ভগ্নাংশ হিসেবে লেখা যায়, যা প্রতিটি পূর্ণসংখ্যাকে মূলদ সংখ্যাও করে তোলে।
মূলদ সংখ্যা শুধুমাত্র ভগ্নাংশ হতে হবে।
মূলদ সংখ্যার মধ্যে ভগ্নাংশ অন্তর্ভুক্ত, তবে এতে পূর্ণসংখ্যাও অন্তর্ভুক্ত কারণ একটি পূর্ণসংখ্যাকে হর এক সহ ভগ্নাংশ হিসেবে লেখা হলে তা একটি মূলদ সংখ্যা হয়।
মূলদ সংখ্যা সবসময় অসীম দশমিক উৎপন্ন করে।
কিছু মূলদ সংখ্যা অসীম পুনরাবৃত্তিমূলক দশমিক উৎপন্ন করে, কিন্তু অন্যগুলো হর অনুসারে নির্দিষ্ট সংখ্যক অঙ্কের পর দশমিক শেষ হয়ে যায়।
পূর্ণসংখ্যা যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে।
পূর্ণসংখ্যার মধ্যে ভগ্নাংশ বা দশমিক অন্তর্ভুক্ত হতে পারে না; শুধুমাত্র ভগ্নাংশহীন সম্পূর্ণ মানই পূর্ণসংখ্যা হিসেবে গণ্য হয়।
পূর্ণসংখ্যা বোঝাতে 'integer' শব্দটি ব্যবহার করুন যখন আপনি বিশেষভাবে ভগ্নাংশবিহীন পূর্ণ সংখ্যার কথা বলছেন। ভগ্নাংশ বা দশমিক সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত করতে পারেন এমন সংখ্যা বোঝাতে 'rational' ব্যবহার করুন যা পূর্ণসংখ্যার অনুপাত দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
অক্ষাংশ-দ্রাঘিমাংশ পদ্ধতি পৃথিবীর নিরক্ষরেখা ও মূল মধ্যরেখায় স্থাপিত দুটি লম্ব কৌণিক পরিমাপ ব্যবহার করে একটি ত্রিমাত্রিক গোলকীয় পৃষ্ঠের উপর অবস্থান নির্ণয় করে, অন্যদিকে মেরু স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা একটি কেন্দ্রীয় প্রারম্ভিক রশ্মি থেকে পরিমাপ করা একটি সরলরৈখিক ব্যাসার্ধীয় দূরত্বের সাথে একটি একক কোণকে একত্রিত করে একটি সমতল দ্বিমাত্রিক তলের উপর অবস্থান নির্ধারণ করে।
অ্যালগরিদমিক উৎপাদন যেখানে নির্দিষ্ট নিয়মের উপর ভিত্তি করে বিপুল কম্পিউটিং শক্তি ব্যবহার করে দ্রুত গাণিতিক কাঠামো, প্রমাণ এবং প্রাথমিক তথ্য তৈরি করে, সেখানে মানুষের ব্যাখ্যা সেই ফলাফলগুলোকে বোঝার জন্য প্রয়োজনীয় স্বজ্ঞা, প্রাসঙ্গিক অর্থ এবং ধারণাগত কাঠামো প্রদান করে, যা আধুনিক গণিতে এক গভীর সহাবস্থানকে তুলে ধরে।
যদিও উভয় পদই দুটি সেটের মধ্যে উপাদানগুলিকে কীভাবে ম্যাপ করা হয় তা বর্ণনা করে, তারা সমীকরণের বিভিন্ন দিককে সম্বোধন করে। এক-থেকে-এক (ইনজেক্টিভ) ফাংশনগুলি ইনপুটগুলির স্বতন্ত্রতার উপর ফোকাস করে, নিশ্চিত করে যে কোনও দুটি পথ একই গন্তব্যে নিয়ে যায় না, অন্যদিকে (অনুমানিক) ফাংশনগুলি নিশ্চিত করে যে প্রতিটি সম্ভাব্য গন্তব্যে আসলে পৌঁছানো হয়েছে।
সিঙ্গুলার ভ্যালু যেকোনো ট্রান্সফরমেশন ম্যাট্রিক্সের লম্ব অক্ষ বরাবর দিকনির্দেশক প্রসারণ ক্ষমতা পরিমাপ করে, অপরদিকে আইগেনভেক্টর সেই নির্দিষ্ট দিকনির্দেশক অক্ষগুলোকে নির্দেশ করে যেগুলো একটি লিনিয়ার ট্রান্সফরমেশনের সময় সম্পূর্ণরূপে অপরিবর্তিত থাকে, যদিও এগুলো কঠোরভাবে বর্গ ম্যাট্রিক্সের মধ্যেই সীমাবদ্ধ।
সিঙ্গুলার ভ্যালু ডিকম্পোজিশন এবং আইগেনভ্যালু ডিকম্পোজিশন হলো লিনিয়ার অ্যালজেবরা-র দুটি মৌলিক ম্যাট্রিক্স ফ্যাক্টরাইজেশন পদ্ধতি। যেখানে আইগেনভ্যালু ডিকম্পোজিশন শুধুমাত্র বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য সীমাবদ্ধ এবং অপরিবর্তনীয় দিকগুলো উন্মোচন করে, সেখানে সিঙ্গুলার ভ্যালু ডিকম্পোজিশন যেকোনো আকারের ম্যাট্রিক্সের জন্য প্রযোজ্য এবং এটি রূপান্তরগুলোকে লম্ব ঘূর্ণন ও কর্ণ স্কেলিং অপারেশনে বিভক্ত করে।
