এই তুলনাটি পূর্ণসংখ্যা এবং মূলদ সংখ্যার মধ্যে গাণিতিক পার্থক্য ব্যাখ্যা করে, দেখায় প্রতিটি সংখ্যার ধরন কীভাবে সংজ্ঞায়িত হয়, বিস্তৃত সংখ্যা ব্যবস্থার মধ্যে তাদের সম্পর্ক কেমন, এবং কোন পরিস্থিতিতে কোন শ্রেণীবিভাগ সংখ্যাগত মান বর্ণনা করার জন্য বেশি উপযুক্ত।
পূর্ণ সংখ্যা যাতে ঋণাত্মক, শূন্য এবং ধনাত্মক সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত থাকে কিন্তু ভগ্নাংশ বা দশমিক থাকে না।
যে সংখ্যাগুলোকে দুটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ হিসেবে লেখা যায়, যেখানে হর শূন্য নয়।
| বৈশিষ্ট্য | পূর্ণসংখ্যা | যুক্তিসঙ্গত |
|---|---|---|
| সংজ্ঞা | সম্পূর্ণ সংখ্যা যার কোনো অংশ নেই | দুইটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ |
| প্রতীক সেট | ℤ (পূর্ণসংখ্যা) | মূলদ সংখ্যা (ℚ) |
| পূর্ণসংখ্যা অন্তর্ভুক্ত? | হ্যাঁ (এটি পূর্ণসংখ্যা) | হ্যাঁ (সব পূর্ণসংখ্যা অন্তর্ভুক্ত) |
| অন্তর্ভুক্ত অ-পূর্ণসংখ্যা ভগ্নাংশ | না | হ্যাঁ |
| দশমিক উপস্থাপনা | ভগ্নাংশ/দশমিক অংশ নেই | পুনরাবৃত্তিমূলক বা সসীম হতে পারে |
| সাধারণ ফর্মসমূহ | …,−২, −১, ০, ১, ২,… | a/b যেখানে b ≠ ০ |
| উদাহরণ | -৫, ০, ৭ | ১/৩, ৪.৫, -২/৫ |
পূর্ণসংখ্যা হল সম্পূর্ণ পূর্ণ সংখ্যা যার কোনো ভগ্নাংশ অংশ নেই, যার মধ্যে রয়েছে সকল ঋণাত্মক সংখ্যা, শূন্য এবং ধনাত্মক সংখ্যা। মূলদ সংখ্যা হল এমন যেকোনো সংখ্যা যা একটি পূর্ণসংখ্যাকে অন্য একটি অশূন্য পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করে লেখা যায়, অর্থাৎ মূলদ সংখ্যার মধ্যে পূর্ণসংখ্যাগুলো অন্তর্ভুক্ত থাকে যখন হর হয় এক।
পূর্ণসংখ্যাগুলো মূলদ সংখ্যার একটি উপসেট গঠন করে, যার অর্থ প্রতিটি পূর্ণসংখ্যাকে হর এক বিশিষ্ট ভগ্নাংশ হিসেবে প্রকাশ করে মূলদ সংখ্যা হিসেবে গণ্য করা যায়। মূলদ সংখ্যাগুলোর মধ্যে অপূর্ণসংখ্যা ভগ্নাংশও অন্তর্ভুক্ত থাকে, যা সেটটিকে কেবল পূর্ণ মানের বাইরেও প্রসারিত করে।
একটি পূর্ণসংখ্যার কখনোই ভগ্নাংশ বা দশমিক অংশ থাকে না, তাই এর দশমিক প্রকাশ সঙ্গে সঙ্গেই শেষ হয়। মূলদ সংখ্যাগুলো দশমিক হিসেবে দেখা দিতে পারে যা হয় শেষ হয় অথবা একটি প্যাটার্ন পুনরাবৃত্তি করে, কারণ একটি পূর্ণসংখ্যাকে অন্য একটি পূর্ণসংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে একটি অনুমানযোগ্য দশমিক বিস্তার পাওয়া যায়।
পূর্ণসংখ্যা সাধারণত বিচ্ছিন্ন গণনা, ধাপ এবং এমন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয় যেখানে ভগ্নাংশের মান প্রয়োজন হয় না। মূলদ সংখ্যা সম্পূর্ণর অংশ বর্ণনা, অনুপাত, অনুপাত এবং ভগ্নাংশযুক্ত পরিমাপের ক্ষেত্রে কার্যকর।
পূর্ণসংখ্যা এবং মূলদ সংখ্যা সম্পূর্ণ আলাদা শ্রেণী।
পূর্ণসংখ্যাগুলো মূলদ সংখ্যার একটি উপগোষ্ঠী, কারণ যেকোনো পূর্ণসংখ্যাকে হর এক সহ একটি ভগ্নাংশ হিসেবে লেখা যায়, যা প্রতিটি পূর্ণসংখ্যাকে মূলদ সংখ্যাও করে তোলে।
মূলদ সংখ্যা শুধুমাত্র ভগ্নাংশ হতে হবে।
মূলদ সংখ্যার মধ্যে ভগ্নাংশ অন্তর্ভুক্ত, তবে এতে পূর্ণসংখ্যাও অন্তর্ভুক্ত কারণ একটি পূর্ণসংখ্যাকে হর এক সহ ভগ্নাংশ হিসেবে লেখা হলে তা একটি মূলদ সংখ্যা হয়।
মূলদ সংখ্যা সবসময় অসীম দশমিক উৎপন্ন করে।
কিছু মূলদ সংখ্যা অসীম পুনরাবৃত্তিমূলক দশমিক উৎপন্ন করে, কিন্তু অন্যগুলো হর অনুসারে নির্দিষ্ট সংখ্যক অঙ্কের পর দশমিক শেষ হয়ে যায়।
পূর্ণসংখ্যা যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে।
পূর্ণসংখ্যার মধ্যে ভগ্নাংশ বা দশমিক অন্তর্ভুক্ত হতে পারে না; শুধুমাত্র ভগ্নাংশহীন সম্পূর্ণ মানই পূর্ণসংখ্যা হিসেবে গণ্য হয়।
পূর্ণসংখ্যা বোঝাতে 'integer' শব্দটি ব্যবহার করুন যখন আপনি বিশেষভাবে ভগ্নাংশবিহীন পূর্ণ সংখ্যার কথা বলছেন। ভগ্নাংশ বা দশমিক সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত করতে পারেন এমন সংখ্যা বোঝাতে 'rational' ব্যবহার করুন যা পূর্ণসংখ্যার অনুপাত দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
যদিও উভয় পদই দুটি সেটের মধ্যে উপাদানগুলিকে কীভাবে ম্যাপ করা হয় তা বর্ণনা করে, তারা সমীকরণের বিভিন্ন দিককে সম্বোধন করে। এক-থেকে-এক (ইনজেক্টিভ) ফাংশনগুলি ইনপুটগুলির স্বতন্ত্রতার উপর ফোকাস করে, নিশ্চিত করে যে কোনও দুটি পথ একই গন্তব্যে নিয়ে যায় না, অন্যদিকে (অনুমানিক) ফাংশনগুলি নিশ্চিত করে যে প্রতিটি সম্ভাব্য গন্তব্যে আসলে পৌঁছানো হয়েছে।
অভিসারী এবং বিমুখ ধারার মধ্যে পার্থক্য নির্ধারণ করে যে অসীম সংখ্যার যোগফল একটি নির্দিষ্ট, সসীম মানে স্থির হয় নাকি অসীমের দিকে ঘুরে বেড়ায়। যদিও একটি অভিসারী ধারা ক্রমশ তার পদগুলিকে 'সঙ্কুচিত' করে যতক্ষণ না তাদের মোট সংখ্যা একটি স্থির সীমায় পৌঁছায়, একটি বিমুখ ধারা স্থিতিশীল হতে ব্যর্থ হয়, হয় আবদ্ধ না হয়ে বৃদ্ধি পায় অথবা চিরতরে দোদুল্যমান হয়।
যদিও উভয় সিস্টেমই দ্বি-মাত্রিক সমতলে অবস্থান চিহ্নিত করার প্রাথমিক উদ্দেশ্য পূরণ করে, তারা বিভিন্ন জ্যামিতিক দর্শন থেকে কাজটি সম্পন্ন করে। কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কগুলি অনুভূমিক এবং উল্লম্ব দূরত্বের একটি কঠোর গ্রিডের উপর নির্ভর করে, যেখানে পোলার স্থানাঙ্কগুলি একটি কেন্দ্রীয় স্থির বিন্দু থেকে সরাসরি দূরত্ব এবং কোণের উপর ফোকাস করে।
কোণ এবং ঢাল উভয়ই একটি রেখার 'খাড়াতা' পরিমাপ করে, কিন্তু তারা ভিন্ন গাণিতিক ভাষা ব্যবহার করে। একটি কোণ দুটি ছেদকারী রেখার মধ্যে বৃত্তাকার ঘূর্ণনকে ডিগ্রি বা রেডিয়ানে পরিমাপ করে, অন্যদিকে ঢাল অনুভূমিক 'রান'-এর সাপেক্ষে উল্লম্ব 'উত্থান'কে সংখ্যাসূচক অনুপাত হিসাবে পরিমাপ করে।
গড় এবং প্রচুরকের মধ্যে গাণিতিক পার্থক্য ব্যাখ্যা করা হয়েছে এই তুলনায়, যা ডেটা সেট বর্ণনা করার জন্য ব্যবহৃত কেন্দ্রীয় প্রবণতার দুটি মূল পরিমাপ। এটি কীভাবে এগুলো গণনা করা হয়, বিভিন্ন ধরনের ডেটার প্রতি এগুলোর প্রতিক্রিয়া কেমন, এবং বিশ্লেষণে কোনটি সবচেয়ে কার্যকর তা নিয়ে আলোচনা করে।
