গণিতের জগতে, প্রতিটি ফাংশন একটি সম্পর্ক, কিন্তু প্রতিটি সম্পর্ক একটি ফাংশন হিসেবে যোগ্যতা অর্জন করে না। যদিও একটি সম্পর্ক কেবল দুটি সংখ্যার সেটের মধ্যে যেকোনো সংযোগকে বর্ণনা করে, একটি ফাংশন হল একটি সুশৃঙ্খল উপসেট যার প্রতিটি ইনপুটকে ঠিক একটি নির্দিষ্ট আউটপুটে নিয়ে যাওয়ার প্রয়োজন হয়।
ইনপুট এবং আউটপুটের মধ্যে সংযোগ নির্ধারণ করে এমন যেকোনো ক্রমযুক্ত জোড়ার সেট।
একটি নির্দিষ্ট ধরণের সম্পর্ক যেখানে প্রতিটি ইনপুটের একটি একক, অনন্য আউটপুট থাকে।
| বৈশিষ্ট্য | সম্পর্ক | ফাংশন |
|---|---|---|
| সংজ্ঞা | অর্ডার করা জোড়ার যেকোনো সংগ্রহ | প্রতি ইনপুট একটি আউটপুট নির্ধারণের একটি নিয়ম |
| ইনপুট/আউটপুট অনুপাত | এক থেকে বহু অনুমোদিত | এক-থেকে-এক অথবা একাধিক-থেকে-এক |
| উল্লম্ব রেখা পরীক্ষা | ব্যর্থ হতে পারে (দুই বা তার বেশি ছেদ করে) | অবশ্যই অতিক্রম করতে হবে (একবার বা তার কম ছেদ করে) |
| গ্রাফিক উদাহরণ | বৃত্ত, পাশের প্যারাবোলাস, এস-বক্ররেখা | লাইন, ঊর্ধ্বগামী প্যারাবোলা, সাইন ওয়েভ |
| গাণিতিক ব্যাপ্তি | সাধারণ বিভাগ | সম্পর্কের উপ-বিভাগ |
| ভবিষ্যদ্বাণীযোগ্যতা | কম (একাধিক সম্ভাব্য উত্তর) | উচ্চ (একটি নির্দিষ্ট উত্তর) |
প্রাথমিক পার্থক্য হলো ডোমেনের আচরণ। একটি সম্পর্কের ক্ষেত্রে, আপনি ৫ নম্বরটি ইনপুট করে ১০ বা ২০ পেতে পারেন, যা 'এক থেকে বহু' পরিস্থিতি তৈরি করে। একটি ফাংশন এই অস্পষ্টতাকে নিষিদ্ধ করে; যদি আপনি ৫ প্লাগ ইন করেন, তাহলে আপনাকে প্রতিবার একটি একক, সামঞ্জস্যপূর্ণ ফলাফল পেতে হবে, যাতে সিস্টেমটি নির্ধারক হয়।
উল্লম্ব রেখা পরীক্ষা ব্যবহার করে আপনি গ্রাফে তাৎক্ষণিকভাবে পার্থক্যটি দেখতে পাবেন। যদি আপনি প্লটের যেকোনো জায়গায় একটি উল্লম্ব রেখা আঁকতে পারেন যা একাধিক স্থানে বক্ররেখা স্পর্শ করে, তাহলে আপনি একটি সম্পর্ক দেখছেন। ফাংশনগুলি আরও 'সুবিন্যস্ত' এবং কখনও অনুভূমিকভাবে নিজেদের উপর দ্বিগুণ হয় না।
সময়ের সাথে সাথে একজন ব্যক্তির উচ্চতার কথা ভাবুন; যেকোনো নির্দিষ্ট বয়সে, একজন ব্যক্তির ঠিক একটি উচ্চতা থাকে, যা এটিকে একটি ফাংশন করে তোলে। বিপরীতে, মানুষ এবং তাদের মালিকানাধীন গাড়ির তালিকার কথা ভাবুন। যেহেতু একজন ব্যক্তি তিনটি ভিন্ন গাড়ির মালিক হতে পারেন, সেই সংযোগটি একটি সম্পর্ক কিন্তু একটি ফাংশন নয়।
ফাংশনগুলি ক্যালকুলাস এবং পদার্থবিদ্যার কাজের ঘোড়া কারণ তাদের ভবিষ্যদ্বাণীযোগ্যতা আমাদের পরিবর্তনের হার গণনা করতে সাহায্য করে। আমরা বিশেষভাবে ফাংশনগুলির জন্য 'f(x)' নোটেশন ব্যবহার করি যাতে দেখা যায় যে আউটপুট শুধুমাত্র 'x' এর উপর নির্ভর করে। জ্যামিতিতে উপবৃত্তের মতো আকারগুলি সংজ্ঞায়িত করার জন্য সম্পর্কগুলি কার্যকর, যা এই কঠোর নিয়মগুলি অনুসরণ করে না।
একটি ফাংশনে দুটি ভিন্ন ইনপুট থাকতে পারে না যার ফলে একই আউটপুট পাওয়া যায়।
এটি আসলে অনুমোদিত। উদাহরণস্বরূপ, f(x) = x² ফাংশনে, -2 এবং 2 উভয়ের ফলাফল 4। এটি একটি 'অনেক-থেকে-এক' সম্পর্ক, যা একটি ফাংশনের জন্য পুরোপুরি বৈধ।
বৃত্তের সমীকরণগুলি হল ফাংশন।
বৃত্তগুলি সম্পর্ক, ফাংশন নয়। যদি আপনি একটি বৃত্তের মধ্য দিয়ে একটি উল্লম্ব রেখা আঁকেন, তবে এটি উপরে এবং নীচে আঘাত করে, যার অর্থ একটি x-মানের দুটি y-মান থাকে।
'সম্পর্ক' এবং 'কার্য' শব্দ দুটি পরস্পরের পরিবর্তে ব্যবহার করা যেতে পারে।
এগুলো নেস্টেড টার্ম। আপনি একটি ফাংশনকে একটি রিলেশন বলতে পারেন, কিন্তু একটি সাধারণ রিলেশনকে একটি ফাংশন বলা গাণিতিকভাবে ভুল হবে যদি এটি এক-আউটপুট নিয়ম লঙ্ঘন করে।
ফাংশনগুলিকে সর্বদা সমীকরণ হিসেবে লিখতে হবে।
ফাংশনগুলিকে টেবিল, গ্রাফ, এমনকি স্থানাঙ্কের সেট দ্বারা উপস্থাপন করা যেতে পারে। যতক্ষণ পর্যন্ত 'প্রতি ইনপুট একটি আউটপুট' নিয়ম বজায় রাখা হয়, ততক্ষণ পর্যন্ত ফর্ম্যাটটি কোন ব্যাপার না।
যখন আপনি একটি সাধারণ সংযোগ বা নিজের উপর ফিরে আসা জ্যামিতিক আকৃতি বর্ণনা করতে চান তখন একটি সম্পর্ক ব্যবহার করুন। যখন আপনার একটি পূর্বাভাসযোগ্য মডেলের প্রয়োজন হয় যেখানে প্রতিটি ক্রিয়া একটি নির্দিষ্ট, পুনরাবৃত্তিযোগ্য প্রতিক্রিয়া তৈরি করে তখন একটি ফাংশনে স্যুইচ করুন।
যদিও উভয় পদই দুটি সেটের মধ্যে উপাদানগুলিকে কীভাবে ম্যাপ করা হয় তা বর্ণনা করে, তারা সমীকরণের বিভিন্ন দিককে সম্বোধন করে। এক-থেকে-এক (ইনজেক্টিভ) ফাংশনগুলি ইনপুটগুলির স্বতন্ত্রতার উপর ফোকাস করে, নিশ্চিত করে যে কোনও দুটি পথ একই গন্তব্যে নিয়ে যায় না, অন্যদিকে (অনুমানিক) ফাংশনগুলি নিশ্চিত করে যে প্রতিটি সম্ভাব্য গন্তব্যে আসলে পৌঁছানো হয়েছে।
অভিসারী এবং বিমুখ ধারার মধ্যে পার্থক্য নির্ধারণ করে যে অসীম সংখ্যার যোগফল একটি নির্দিষ্ট, সসীম মানে স্থির হয় নাকি অসীমের দিকে ঘুরে বেড়ায়। যদিও একটি অভিসারী ধারা ক্রমশ তার পদগুলিকে 'সঙ্কুচিত' করে যতক্ষণ না তাদের মোট সংখ্যা একটি স্থির সীমায় পৌঁছায়, একটি বিমুখ ধারা স্থিতিশীল হতে ব্যর্থ হয়, হয় আবদ্ধ না হয়ে বৃদ্ধি পায় অথবা চিরতরে দোদুল্যমান হয়।
যদিও উভয় সিস্টেমই দ্বি-মাত্রিক সমতলে অবস্থান চিহ্নিত করার প্রাথমিক উদ্দেশ্য পূরণ করে, তারা বিভিন্ন জ্যামিতিক দর্শন থেকে কাজটি সম্পন্ন করে। কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কগুলি অনুভূমিক এবং উল্লম্ব দূরত্বের একটি কঠোর গ্রিডের উপর নির্ভর করে, যেখানে পোলার স্থানাঙ্কগুলি একটি কেন্দ্রীয় স্থির বিন্দু থেকে সরাসরি দূরত্ব এবং কোণের উপর ফোকাস করে।
কোণ এবং ঢাল উভয়ই একটি রেখার 'খাড়াতা' পরিমাপ করে, কিন্তু তারা ভিন্ন গাণিতিক ভাষা ব্যবহার করে। একটি কোণ দুটি ছেদকারী রেখার মধ্যে বৃত্তাকার ঘূর্ণনকে ডিগ্রি বা রেডিয়ানে পরিমাপ করে, অন্যদিকে ঢাল অনুভূমিক 'রান'-এর সাপেক্ষে উল্লম্ব 'উত্থান'কে সংখ্যাসূচক অনুপাত হিসাবে পরিমাপ করে।
গড় এবং প্রচুরকের মধ্যে গাণিতিক পার্থক্য ব্যাখ্যা করা হয়েছে এই তুলনায়, যা ডেটা সেট বর্ণনা করার জন্য ব্যবহৃত কেন্দ্রীয় প্রবণতার দুটি মূল পরিমাপ। এটি কীভাবে এগুলো গণনা করা হয়, বিভিন্ন ধরনের ডেটার প্রতি এগুলোর প্রতিক্রিয়া কেমন, এবং বিশ্লেষণে কোনটি সবচেয়ে কার্যকর তা নিয়ে আলোচনা করে।
