একটি বৃত্তকে একটি একক কেন্দ্রবিন্দু এবং একটি ধ্রুবক ব্যাসার্ধ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলেও, একটি উপবৃত্ত এই ধারণাটিকে দুটি কেন্দ্রবিন্দুতে প্রসারিত করে, একটি দীর্ঘায়িত আকৃতি তৈরি করে যেখানে এই কেন্দ্রবিন্দুগুলির দূরত্বের যোগফল স্থির থাকে। প্রতিটি বৃত্ত প্রযুক্তিগতভাবে একটি বিশেষ ধরণের উপবৃত্ত যেখানে দুটি কেন্দ্রবিন্দু পুরোপুরি ওভারল্যাপ করে, যা তাদের স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে সবচেয়ে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত চিত্র করে তোলে।
একটি পুরোপুরি গোলাকার, দ্বিমাত্রিক আকৃতি যেখানে প্রান্তের প্রতিটি বিন্দু কেন্দ্র থেকে ঠিক একই দূরত্বে অবস্থিত।
একটি দীর্ঘায়িত বাঁকা আকৃতি যা দুটি অভ্যন্তরীণ বিন্দু দ্বারা সংজ্ঞায়িত যাকে ফোসি বলা হয়, যা একটি সঙ্কুচিত বা প্রসারিত বৃত্তের মতো।
| বৈশিষ্ট্য | বৃত্ত | উপবৃত্ত |
|---|---|---|
| ফোকির সংখ্যা | ১ (কেন্দ্র) | ২টি স্বতন্ত্র পয়েন্ট |
| অদ্ভুততা (ঙ) | ঙ = ০ | ০ < e < 1 |
| ব্যাসার্ধ/অক্ষ | ধ্রুবক ব্যাসার্ধ | পরিবর্তনশীল প্রধান এবং ক্ষুদ্র অক্ষ |
| প্রতিসাম্য রেখা | অসীম (যেকোনো ব্যাস) | দুটি (প্রধান এবং ক্ষুদ্র অক্ষ) |
| স্ট্যান্ডার্ড সমীকরণ | x² + y² = r² | (x²/a²) + (y²/b²) = 1 |
| প্রাকৃতিক ঘটনা | সাবানের বুদবুদ, ঢেউ | গ্রহের কক্ষপথ, ছায়া |
| পরিধি সূত্র | 2πr (সরল) | জটিল ইন্টিগ্রেশন প্রয়োজন |
গাণিতিকভাবে, একটি বৃত্ত হল একটি উপবৃত্তের একটি নির্দিষ্ট প্রকরণ মাত্র। দুটি কেন্দ্রবিন্দু বিশিষ্ট একটি উপবৃত্ত কল্পনা করুন; যখন দুটি বিন্দু একে অপরের কাছাকাছি চলে আসে এবং অবশেষে একটি একক স্থানে মিশে যায়, তখন দীর্ঘায়িত আকৃতিটি ধীরে ধীরে বৃত্তাকার হয় যতক্ষণ না এটি একটি নিখুঁত বৃত্তে পরিণত হয়। এই কারণেই উপবৃত্তের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য অনেক জ্যামিতিক সূত্র বৃত্তের জন্যও কাজ করে, তবে সহজ চলক সহ।
একটি বৃত্ত হল প্রতিসাম্যের সর্বোচ্চ শিখর, আপনি এটিকে যেভাবেই ঘোরান না কেন তা একই রকম দেখায়। তবে একটি উপবৃত্ত আরও সীমাবদ্ধ; এটি কেবল তার দুটি প্রধান অক্ষ বরাবর প্রতিসাম্য বজায় রাখে। এই পার্থক্যের কারণেই চাকার মতো ঘূর্ণায়মান অংশগুলির জন্য বৃত্তাকার বস্তুগুলিকে পছন্দ করা হয়, যেখানে উপবৃত্তাকার আকারগুলি আলোকে কেন্দ্রীভূত করা বা বায়ুগতিগত প্রোফাইল ডিজাইন করার মতো বিশেষ কাজের জন্য ব্যবহৃত হয়।
সূত্রটি সহজবোধ্য হওয়ায় শিক্ষার্থীরা প্রথমেই বৃত্তের পরিধি নির্ণয় করতে শেখে। বিপরীতে, একটি উপবৃত্তের সঠিক পরিধি নির্ণয় করা আশ্চর্যজনকভাবে কঠিন এবং এর জন্য উন্নত ক্যালকুলাস বা উচ্চ-স্তরের আনুমানিক হিসাব প্রয়োজন। এই জটিলতা দেখা দেয় কারণ একটি উপবৃত্তের বক্রতা ক্রমাগত পরিবর্তিত হয় যখন আপনি এর প্রান্ত বরাবর যান।
মানব প্রকৌশলে গিয়ার এবং পাইপের মতো জিনিসের জন্য বৃত্ত সাধারণ কারণ তারা সমানভাবে চাপ বিতরণ করে। উপবৃত্ত পদার্থবিদ্যার প্রাকৃতিক জগতে প্রাধান্য পায়; উদাহরণস্বরূপ, পৃথিবী সূর্যের চারপাশে একটি বৃত্তে ভ্রমণ করে না, বরং একটি উপবৃত্তাকার পথে ভ্রমণ করে। এটি আমাদের কক্ষপথের বলবিদ্যাকে সংজ্ঞায়িত করে এমন বিভিন্ন গতি এবং দূরত্বের অনুমতি দেয়।
একটি বৃত্ত এবং একটি উপবৃত্ত দুটি সম্পূর্ণ ভিন্ন আকৃতি।
স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে, তারা 'কনিক সেকশন' নামে পরিচিত একই পরিবারের অংশ। একটি বৃত্ত হল একটি উপবৃত্তের একটি উপ-বিভাগ মাত্র যেখানে অনুভূমিক অক্ষের দৈর্ঘ্য উল্লম্ব অক্ষের সমান।
সমস্ত ডিম্বাকৃতি উপবৃত্তাকার।
উপবৃত্ত হল একটি অত্যন্ত নির্দিষ্ট গাণিতিক বক্ররেখা। যদিও সমস্ত উপবৃত্তই ডিম্বাকৃতি, অনেক ডিম্বাকৃতি - যেমন একটি আদর্শ ডিমের আকৃতি - একটি প্রকৃত উপবৃত্ত হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় ধ্রুবক-দূরত্বের যোগফলের নিয়ম অনুসরণ করে না।
গ্রহগুলো নিখুঁত বৃত্তে ভ্রমণ করে।
বেশিরভাগ মানুষ ধরেই নেয় কক্ষপথ বৃত্তাকার, কিন্তু আসলে সেগুলো কিছুটা উপবৃত্তাকার। এটি ছিল জোহানেস কেপলারের একটি প্রধান আবিষ্কার যা শতাব্দীর পূর্ববর্তী জ্যোতির্বিদ্যা তত্ত্বগুলিকে সংশোধন করেছিল।
আপনি একটি উপবৃত্তের পরিধি বৃত্তের মতোই সহজেই গণনা করতে পারেন।
উপবৃত্তের জন্য 2πr এর মতো কোন সহজ সূত্র নেই। এমনকি উপবৃত্তের পরিধির জন্য সবচেয়ে সাধারণ 'সরল' সূত্রগুলি কেবল আনুমানিক, সঠিক উত্তর নয়।
যখন আপনার নিখুঁত প্রতিসাম্য, অভিন্ন চাপ বন্টন, অথবা সহজ গাণিতিক গণনার প্রয়োজন হয় তখন একটি বৃত্ত বেছে নিন। প্রাকৃতিক কক্ষপথের মডেলিং, প্রতিফলিত আলোকবিদ্যা ডিজাইন, অথবা দৃষ্টিকোণ অঙ্কনে বৃত্তাকার বস্তু উপস্থাপনের সময় একটি উপবৃত্ত বেছে নিন।
যদিও উভয় পদই দুটি সেটের মধ্যে উপাদানগুলিকে কীভাবে ম্যাপ করা হয় তা বর্ণনা করে, তারা সমীকরণের বিভিন্ন দিককে সম্বোধন করে। এক-থেকে-এক (ইনজেক্টিভ) ফাংশনগুলি ইনপুটগুলির স্বতন্ত্রতার উপর ফোকাস করে, নিশ্চিত করে যে কোনও দুটি পথ একই গন্তব্যে নিয়ে যায় না, অন্যদিকে (অনুমানিক) ফাংশনগুলি নিশ্চিত করে যে প্রতিটি সম্ভাব্য গন্তব্যে আসলে পৌঁছানো হয়েছে।
অভিসারী এবং বিমুখ ধারার মধ্যে পার্থক্য নির্ধারণ করে যে অসীম সংখ্যার যোগফল একটি নির্দিষ্ট, সসীম মানে স্থির হয় নাকি অসীমের দিকে ঘুরে বেড়ায়। যদিও একটি অভিসারী ধারা ক্রমশ তার পদগুলিকে 'সঙ্কুচিত' করে যতক্ষণ না তাদের মোট সংখ্যা একটি স্থির সীমায় পৌঁছায়, একটি বিমুখ ধারা স্থিতিশীল হতে ব্যর্থ হয়, হয় আবদ্ধ না হয়ে বৃদ্ধি পায় অথবা চিরতরে দোদুল্যমান হয়।
যদিও উভয় সিস্টেমই দ্বি-মাত্রিক সমতলে অবস্থান চিহ্নিত করার প্রাথমিক উদ্দেশ্য পূরণ করে, তারা বিভিন্ন জ্যামিতিক দর্শন থেকে কাজটি সম্পন্ন করে। কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কগুলি অনুভূমিক এবং উল্লম্ব দূরত্বের একটি কঠোর গ্রিডের উপর নির্ভর করে, যেখানে পোলার স্থানাঙ্কগুলি একটি কেন্দ্রীয় স্থির বিন্দু থেকে সরাসরি দূরত্ব এবং কোণের উপর ফোকাস করে।
কোণ এবং ঢাল উভয়ই একটি রেখার 'খাড়াতা' পরিমাপ করে, কিন্তু তারা ভিন্ন গাণিতিক ভাষা ব্যবহার করে। একটি কোণ দুটি ছেদকারী রেখার মধ্যে বৃত্তাকার ঘূর্ণনকে ডিগ্রি বা রেডিয়ানে পরিমাপ করে, অন্যদিকে ঢাল অনুভূমিক 'রান'-এর সাপেক্ষে উল্লম্ব 'উত্থান'কে সংখ্যাসূচক অনুপাত হিসাবে পরিমাপ করে।
গড় এবং প্রচুরকের মধ্যে গাণিতিক পার্থক্য ব্যাখ্যা করা হয়েছে এই তুলনায়, যা ডেটা সেট বর্ণনা করার জন্য ব্যবহৃত কেন্দ্রীয় প্রবণতার দুটি মূল পরিমাপ। এটি কীভাবে এগুলো গণনা করা হয়, বিভিন্ন ধরনের ডেটার প্রতি এগুলোর প্রতিক্রিয়া কেমন, এবং বিশ্লেষণে কোনটি সবচেয়ে কার্যকর তা নিয়ে আলোচনা করে।
