একটি বৃত্তকে একটি একক কেন্দ্রবিন্দু এবং একটি ধ্রুবক ব্যাসার্ধ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলেও, একটি উপবৃত্ত এই ধারণাটিকে দুটি কেন্দ্রবিন্দুতে প্রসারিত করে, একটি দীর্ঘায়িত আকৃতি তৈরি করে যেখানে এই কেন্দ্রবিন্দুগুলির দূরত্বের যোগফল স্থির থাকে। প্রতিটি বৃত্ত প্রযুক্তিগতভাবে একটি বিশেষ ধরণের উপবৃত্ত যেখানে দুটি কেন্দ্রবিন্দু পুরোপুরি ওভারল্যাপ করে, যা তাদের স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে সবচেয়ে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত চিত্র করে তোলে।
একটি পুরোপুরি গোলাকার, দ্বিমাত্রিক আকৃতি যেখানে প্রান্তের প্রতিটি বিন্দু কেন্দ্র থেকে ঠিক একই দূরত্বে অবস্থিত।
একটি দীর্ঘায়িত বাঁকা আকৃতি যা দুটি অভ্যন্তরীণ বিন্দু দ্বারা সংজ্ঞায়িত যাকে ফোসি বলা হয়, যা একটি সঙ্কুচিত বা প্রসারিত বৃত্তের মতো।
| বৈশিষ্ট্য | বৃত্ত | উপবৃত্ত |
|---|---|---|
| ফোকির সংখ্যা | ১ (কেন্দ্র) | ২টি স্বতন্ত্র পয়েন্ট |
| অদ্ভুততা (ঙ) | ঙ = ০ | ০ < e < 1 |
| ব্যাসার্ধ/অক্ষ | ধ্রুবক ব্যাসার্ধ | পরিবর্তনশীল প্রধান এবং ক্ষুদ্র অক্ষ |
| প্রতিসাম্য রেখা | অসীম (যেকোনো ব্যাস) | দুটি (প্রধান এবং ক্ষুদ্র অক্ষ) |
| স্ট্যান্ডার্ড সমীকরণ | x² + y² = r² | (x²/a²) + (y²/b²) = 1 |
| প্রাকৃতিক ঘটনা | সাবানের বুদবুদ, ঢেউ | গ্রহের কক্ষপথ, ছায়া |
| পরিধি সূত্র | 2πr (সরল) | জটিল ইন্টিগ্রেশন প্রয়োজন |
গাণিতিকভাবে, একটি বৃত্ত হল একটি উপবৃত্তের একটি নির্দিষ্ট প্রকরণ মাত্র। দুটি কেন্দ্রবিন্দু বিশিষ্ট একটি উপবৃত্ত কল্পনা করুন; যখন দুটি বিন্দু একে অপরের কাছাকাছি চলে আসে এবং অবশেষে একটি একক স্থানে মিশে যায়, তখন দীর্ঘায়িত আকৃতিটি ধীরে ধীরে বৃত্তাকার হয় যতক্ষণ না এটি একটি নিখুঁত বৃত্তে পরিণত হয়। এই কারণেই উপবৃত্তের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য অনেক জ্যামিতিক সূত্র বৃত্তের জন্যও কাজ করে, তবে সহজ চলক সহ।
একটি বৃত্ত হল প্রতিসাম্যের সর্বোচ্চ শিখর, আপনি এটিকে যেভাবেই ঘোরান না কেন তা একই রকম দেখায়। তবে একটি উপবৃত্ত আরও সীমাবদ্ধ; এটি কেবল তার দুটি প্রধান অক্ষ বরাবর প্রতিসাম্য বজায় রাখে। এই পার্থক্যের কারণেই চাকার মতো ঘূর্ণায়মান অংশগুলির জন্য বৃত্তাকার বস্তুগুলিকে পছন্দ করা হয়, যেখানে উপবৃত্তাকার আকারগুলি আলোকে কেন্দ্রীভূত করা বা বায়ুগতিগত প্রোফাইল ডিজাইন করার মতো বিশেষ কাজের জন্য ব্যবহৃত হয়।
সূত্রটি সহজবোধ্য হওয়ায় শিক্ষার্থীরা প্রথমেই বৃত্তের পরিধি নির্ণয় করতে শেখে। বিপরীতে, একটি উপবৃত্তের সঠিক পরিধি নির্ণয় করা আশ্চর্যজনকভাবে কঠিন এবং এর জন্য উন্নত ক্যালকুলাস বা উচ্চ-স্তরের আনুমানিক হিসাব প্রয়োজন। এই জটিলতা দেখা দেয় কারণ একটি উপবৃত্তের বক্রতা ক্রমাগত পরিবর্তিত হয় যখন আপনি এর প্রান্ত বরাবর যান।
মানব প্রকৌশলে গিয়ার এবং পাইপের মতো জিনিসের জন্য বৃত্ত সাধারণ কারণ তারা সমানভাবে চাপ বিতরণ করে। উপবৃত্ত পদার্থবিদ্যার প্রাকৃতিক জগতে প্রাধান্য পায়; উদাহরণস্বরূপ, পৃথিবী সূর্যের চারপাশে একটি বৃত্তে ভ্রমণ করে না, বরং একটি উপবৃত্তাকার পথে ভ্রমণ করে। এটি আমাদের কক্ষপথের বলবিদ্যাকে সংজ্ঞায়িত করে এমন বিভিন্ন গতি এবং দূরত্বের অনুমতি দেয়।
একটি বৃত্ত এবং একটি উপবৃত্ত দুটি সম্পূর্ণ ভিন্ন আকৃতি।
স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে, তারা 'কনিক সেকশন' নামে পরিচিত একই পরিবারের অংশ। একটি বৃত্ত হল একটি উপবৃত্তের একটি উপ-বিভাগ মাত্র যেখানে অনুভূমিক অক্ষের দৈর্ঘ্য উল্লম্ব অক্ষের সমান।
সমস্ত ডিম্বাকৃতি উপবৃত্তাকার।
উপবৃত্ত হল একটি অত্যন্ত নির্দিষ্ট গাণিতিক বক্ররেখা। যদিও সমস্ত উপবৃত্তই ডিম্বাকৃতি, অনেক ডিম্বাকৃতি - যেমন একটি আদর্শ ডিমের আকৃতি - একটি প্রকৃত উপবৃত্ত হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় ধ্রুবক-দূরত্বের যোগফলের নিয়ম অনুসরণ করে না।
গ্রহগুলো নিখুঁত বৃত্তে ভ্রমণ করে।
বেশিরভাগ মানুষ ধরেই নেয় কক্ষপথ বৃত্তাকার, কিন্তু আসলে সেগুলো কিছুটা উপবৃত্তাকার। এটি ছিল জোহানেস কেপলারের একটি প্রধান আবিষ্কার যা শতাব্দীর পূর্ববর্তী জ্যোতির্বিদ্যা তত্ত্বগুলিকে সংশোধন করেছিল।
আপনি একটি উপবৃত্তের পরিধি বৃত্তের মতোই সহজেই গণনা করতে পারেন।
উপবৃত্তের জন্য 2πr এর মতো কোন সহজ সূত্র নেই। এমনকি উপবৃত্তের পরিধির জন্য সবচেয়ে সাধারণ 'সরল' সূত্রগুলি কেবল আনুমানিক, সঠিক উত্তর নয়।
যখন আপনার নিখুঁত প্রতিসাম্য, অভিন্ন চাপ বন্টন, অথবা সহজ গাণিতিক গণনার প্রয়োজন হয় তখন একটি বৃত্ত বেছে নিন। প্রাকৃতিক কক্ষপথের মডেলিং, প্রতিফলিত আলোকবিদ্যা ডিজাইন, অথবা দৃষ্টিকোণ অঙ্কনে বৃত্তাকার বস্তু উপস্থাপনের সময় একটি উপবৃত্ত বেছে নিন।
অক্ষাংশ-দ্রাঘিমাংশ পদ্ধতি পৃথিবীর নিরক্ষরেখা ও মূল মধ্যরেখায় স্থাপিত দুটি লম্ব কৌণিক পরিমাপ ব্যবহার করে একটি ত্রিমাত্রিক গোলকীয় পৃষ্ঠের উপর অবস্থান নির্ণয় করে, অন্যদিকে মেরু স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা একটি কেন্দ্রীয় প্রারম্ভিক রশ্মি থেকে পরিমাপ করা একটি সরলরৈখিক ব্যাসার্ধীয় দূরত্বের সাথে একটি একক কোণকে একত্রিত করে একটি সমতল দ্বিমাত্রিক তলের উপর অবস্থান নির্ধারণ করে।
অ্যালগরিদমিক উৎপাদন যেখানে নির্দিষ্ট নিয়মের উপর ভিত্তি করে বিপুল কম্পিউটিং শক্তি ব্যবহার করে দ্রুত গাণিতিক কাঠামো, প্রমাণ এবং প্রাথমিক তথ্য তৈরি করে, সেখানে মানুষের ব্যাখ্যা সেই ফলাফলগুলোকে বোঝার জন্য প্রয়োজনীয় স্বজ্ঞা, প্রাসঙ্গিক অর্থ এবং ধারণাগত কাঠামো প্রদান করে, যা আধুনিক গণিতে এক গভীর সহাবস্থানকে তুলে ধরে।
যদিও উভয় পদই দুটি সেটের মধ্যে উপাদানগুলিকে কীভাবে ম্যাপ করা হয় তা বর্ণনা করে, তারা সমীকরণের বিভিন্ন দিককে সম্বোধন করে। এক-থেকে-এক (ইনজেক্টিভ) ফাংশনগুলি ইনপুটগুলির স্বতন্ত্রতার উপর ফোকাস করে, নিশ্চিত করে যে কোনও দুটি পথ একই গন্তব্যে নিয়ে যায় না, অন্যদিকে (অনুমানিক) ফাংশনগুলি নিশ্চিত করে যে প্রতিটি সম্ভাব্য গন্তব্যে আসলে পৌঁছানো হয়েছে।
সিঙ্গুলার ভ্যালু যেকোনো ট্রান্সফরমেশন ম্যাট্রিক্সের লম্ব অক্ষ বরাবর দিকনির্দেশক প্রসারণ ক্ষমতা পরিমাপ করে, অপরদিকে আইগেনভেক্টর সেই নির্দিষ্ট দিকনির্দেশক অক্ষগুলোকে নির্দেশ করে যেগুলো একটি লিনিয়ার ট্রান্সফরমেশনের সময় সম্পূর্ণরূপে অপরিবর্তিত থাকে, যদিও এগুলো কঠোরভাবে বর্গ ম্যাট্রিক্সের মধ্যেই সীমাবদ্ধ।
সিঙ্গুলার ভ্যালু ডিকম্পোজিশন এবং আইগেনভ্যালু ডিকম্পোজিশন হলো লিনিয়ার অ্যালজেবরা-র দুটি মৌলিক ম্যাট্রিক্স ফ্যাক্টরাইজেশন পদ্ধতি। যেখানে আইগেনভ্যালু ডিকম্পোজিশন শুধুমাত্র বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য সীমাবদ্ধ এবং অপরিবর্তনীয় দিকগুলো উন্মোচন করে, সেখানে সিঙ্গুলার ভ্যালু ডিকম্পোজিশন যেকোনো আকারের ম্যাট্রিক্সের জন্য প্রযোজ্য এবং এটি রূপান্তরগুলোকে লম্ব ঘূর্ণন ও কর্ণ স্কেলিং অপারেশনে বিভক্ত করে।
