В света на математиката всяка функция е релация, но не всяка релация се квалифицира като функция. Докато релацията просто описва всяка връзка между два набора от числа, функцията е дисциплинирано подмножество, което изисква всеки вход да води до точно един специфичен изход.
Всеки набор от подредени двойки, който определя връзка между входове и изходи.
Специфичен тип релация, при която всеки вход има един-единствен, уникален изход.
| Функция | Връзка | Функция |
|---|---|---|
| Определение | Всяка колекция от подредени двойки | Правило, присвояващо един изход на вход |
| Съотношение вход/изход | Разрешено е „едно към много“ | Само едно към едно или много към едно |
| Тест за вертикална линия | Може да се провали (пресича се два или повече пъти) | Задължително преминаване (пресича се веднъж или по-малко) |
| Графични примери | Окръжности, странични параболи, S-образни криви | Линии, параболи нагоре, синусоиди |
| Математически обхват | Обща категория | Подкатегория на отношенията |
| Предсказуемост | Ниско (няколко възможни отговора) | Високо (Един категоричен отговор) |
Основната разлика се крие в поведението на домейна. В една релация може да въведете числото 5 и да получите обратно 10 или 20, създавайки сценарий „едно към много“. Функцията забранява тази двусмисленост; ако въведете 5, трябва да получавате един-единствен, последователен резултат всеки път, което гарантира, че системата е детерминистична.
Можете да забележите разликата веднага на графика, използвайки теста за вертикална линия. Ако можете да начертаете вертикална линия навсякъде по графиката, която докосва кривата на повече от едно място, вие разглеждате зависимост. Функциите са по-„опростени“ и никога не се удвояват хоризонтално върху себе си.
Помислете за ръста на човек във времето; на всяка определена възраст човек има точно един ръст, което го прави функция. И обратно, помислете за списък с хора и колите, които притежават. Тъй като един човек може да притежава три различни коли, тази връзка е отношение, но не и функция.
Функциите са работните коне на висшата математика и физиката, защото тяхната предсказуемост ни позволява да изчисляваме скоростите на промяна. Използваме нотация „f(x)“ специално за функции, за да покажем, че резултатът зависи единствено от „x“. Релациите са полезни в геометрията за дефиниране на форми като елипси, които не следват тези строги правила.
Една функция не може да има два различни входа, които да водят до един и същ изход.
Това всъщност е позволено. Например, във функцията f(x) = x², и -2, и 2 водят до 4. Това е връзка „много към едно“, която е напълно валидна за функция.
Уравненията за окръжности са функции.
Кръговете са отношения, а не функции. Ако начертаете вертикална линия през кръг, тя ще достигне горната и долната част, което означава, че една x-стойност има две y-стойности.
Термините „връзка“ и „функция“ могат да се използват взаимозаменяемо.
Те са вложени термини. Въпреки че можете да наречете функция релация, наричането на обща релация функция е математически неправилно, ако нарушава правилото за един изход.
Функциите винаги трябва да се записват като уравнения.
Функциите могат да бъдат представени чрез таблици, графики или дори набори от координати. Стига да се спазва правилото „един изход на вход“, форматът няма значение.
Използвайте релация, когато трябва да опишете обща връзка или геометрична форма, която се връща обратно към себе си. Преминете към функция, когато имате нужда от предвидим модел, където всяко действие води до една специфична, повтаряща се реакция.
Въпреки че често се използва взаимозаменяемо в уводната математика, абсолютната стойност обикновено се отнася до разстоянието на реално число от нула, докато модулът разширява тази концепция до комплексни числа и вектори. И двете служат на една и съща основна цел: премахване на посоките, за да се разкрие чистата величина на математическата единица.
Докато алгебрата се фокусира върху абстрактните правила на операциите и манипулирането на символи за решаване на неизвестни числа, геометрията изследва физическите свойства на пространството, включително размера, формата и относителното положение на фигурите. Заедно те формират основата на математиката, превръщайки логическите взаимовръзки във визуални структури.
В основата си, аритметичните и геометричните прогресии са два различни начина за увеличаване или свиване на списък от числа. Аритметичната прогресия се променя с постоянна, линейна скорост чрез събиране или изваждане, докато геометричната прогресия се ускорява или забавя експоненциално чрез умножение или деление.
Разбирането на разликата между вектори и скалари е първата стъпка в преминаването от основна аритметика към напреднала физика и инженерство. Докато скаларът просто ви казва „колко“ от нещо съществува, векторът добавя критичния контекст „накъде“, превръщайки проста стойност в насочваща сила.
Въпреки че често се използват взаимозаменяемо в непринуден разговор, вероятността и коефициентът представляват два различни начина за изразяване на вероятността за дадено събитие. Вероятността сравнява броя на благоприятните резултати с общия брой възможности, докато коефициентът сравнява броя на благоприятните резултати директно с броя на неблагоприятните.
