Arifmetik və Həndəsi Ardıcıllıq
Əsasən, hesab və həndəsi ardıcıllıqlar ədədlər siyahısını böyütməyin və ya kiçiltməyin iki fərqli yoludur. Arifmetik ardıcıllıq toplama və ya çıxma zamanı sabit, xətti tempdə dəyişir, həndəsi ardıcıllıq isə vurma və ya bölmə zamanı eksponensial olaraq sürətlənir və ya yavaşlayır.
Seçilmişlər
- Arifmetik ardıcıllıqlar sabit fərqə (d$) əsaslanır.
- Həndəsi ardıcıllıqlar sabit nisbətə ($r$) əsaslanır.
- Arifmetik artım xətti, həndəsi artım isə eksponensialdır.
- Yalnız həndəsi ardıcıllıqlar sonsuzluğa çatdıqda müəyyən bir cəmi "birləşdirə" və ya müəyyən edə bilər.
Arifmetik Ardıcıllıq nədir?
Ardıcıl iki termin arasındakı fərqin sabit bir dəyər olduğu ardıcıllıq.
- Hər bir terminə əlavə edilən sabit dəyər ortaq fərq ($d$) kimi tanınır.
- Qrafikdə göstərildikdə, hesab ardıcıllığının hədləri düz xətt əmələ gətirir.
- İstənilən həd üçün düstur $a_n = a_1 + (n-1)d$-dır.
- Sadə faiz və ya sabit həftəlik müavinət kimi sabit artımı modelləşdirmək üçün adətən istifadə olunur.
- Arifmetik ardıcıllığın cəminə arifmetik sıra deyilir.
Həndəsi Ardıcıllıq nədir?
Hər bir həddin əvvəlki həddi sabit, sıfırdan fərqli bir ədədə vurmaqla tapıldığı ardıcıllıq.
- Hədlər arasındakı sabit vurucuya ortaq nisbət ($r$) deyilir.
- Qrafikdə bu ardıcıllıqlar kəskin şəkildə yüksələn və ya düşən eksponensial əyri yaradır.
- İstənilən həd üçün düstur $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$-dır.
- Əhali artımı, mürəkkəb faiz və ya radioaktiv parçalanma kimi sürətli dəyişiklikləri modelləşdirmək üçün idealdır.
- Əgər ortaq nisbət -1 ilə 1 arasındadırsa, ardıcıllıq nəticədə sıfıra doğru kiçiləcək.
Müqayisə Cədvəli
| Xüsusiyyət | Arifmetik Ardıcıllıq | Həndəsi Ardıcıllıq |
|---|---|---|
| Əməliyyat | Toplama və ya Çıxma | Vurma və ya Bölmə |
| Böyümə Nümunəsi | Xətti / Sabit | Eksponensial / Proporsional |
| Açar Dəyişən | Ümumi Fərq ($d$) | Ümumi Nisbət ($r$) |
| Qrafik Forması | Düz xətt | Əyri xətt |
| Nümunə Qayda | Hər dəfə 5 əlavə edin | Hər dəfə 2-yə vurun |
| Sonsuz Cəm | Həmişə (sonsuzluğa qədər) ayrılır | $|r| < 1$ olduqda birləşə bilər |
Ətraflı Müqayisə
Momentumdakı Fərq
Ən böyük ziddiyyət onların nə qədər tez dəyişməsidir. Arifmetik ardıcıllıq sabit bir tempdə yeriməyə bənzəyir - hər addım eyni uzunluqdadır. Həndəsi ardıcıllıq daha çox təpədən yuvarlanan qartopuna bənzəyir; nə qədər irəli gedərsə, bir o qədər sürətlə böyüyür, çünki artım sabit bir miqdar deyil, cari ölçüyə əsaslanır.
Məlumatların vizuallaşdırılması
Bunlara koordinat müstəvisində baxsanız, fərq gözə çarpır. Arifmetik ardıcıllıqlar qrafik boyunca proqnozlaşdırıla bilən, düz bir yolda hərəkət edir. Lakin həndəsi ardıcıllıqlar yavaş-yavaş başlayır və sonra birdən yuxarıya doğru "partlayır" və ya aşağıya doğru çökür və eksponensial artım və ya azalma kimi tanınan dramatik bir əyri yaradır.
"Gizli" Qaydanı Tapmaq
Hansı ədədin hansı olduğunu müəyyən etmək üçün ardıcıl üç ədədə baxın. Əgər birinci ədədi ikinci ədəddən çıxa və ikinci ədədin üçüncü ədəddən çıxdığı nəticəni ala bilsəniz, bu, hesabdır. Uyğun bir nümunə tapmaq üçün ikinci ədədi birinci ədədə bölməli olsanız, həndəsi ardıcıllıqla qarşılaşırsınız.
Real Dünya Tətbiqi
Maliyyədə sadə faiz hesablamadır, çünki ilkin depozitinizə əsasən hər il eyni miqdarda pul qazanırsınız. Mürəkkəb faiz həndəsi hesablamadır, çünki faizinizə görə faiz qazanırsınız və bu da sərvətinizin zamanla daha sürətli və daha sürətli artmasına səbəb olur.
Üstünlüklər və Eksikliklər
Hesab
Üstünlüklər
- +Proqnozlaşdırıla bilən və sabit
- +Hesablamaq asandır
- +Əl ilə qrafikləşdirmək asandır
- +Gündəlik tapşırıqlar üçün intuitiv
Saxlayıcı
- −Məhdud modelləşdirmə diapazonu
- −Sürətlənməni təmsil edə bilməz
- −Tez ayrılır
- −Ölçüləndirmək üçün çevik deyil
Həndəsi
Üstünlüklər
- +Modellərin sürətli böyüməsi
- +Miqyaslama effektlərini çəkir
- +Çürüməni təmsil edə bilər
- +Yüksək səviyyəli maliyyədə istifadə olunur
Saxlayıcı
- −Rəqəmlər tez bir zamanda böyük olur
- −Daha çətin zehni riyaziyyat
- −Kiçik nisbət dəyişikliklərinə həssasdır
- −Kompleks cəmləmə düsturları
Yaygın yanlış anlaşılmalar
Həndəsi ardıcıllıqlar həmişə böyüyür.
Əgər ortaq nisbət 0 ilə 1 arasındakı kəsrdirsə (məsələn, 0,5), ardıcıllıq əslində kiçiləcək. Buna həndəsi çürümə deyilir və biz dərmanın bədəndəki yarı ömrü kimi şeyləri bu şəkildə modelləşdiririk.
Bir ardıcıllıq hər ikisi ola bilməz.
Bir xüsusi hal var: eyni ədəddən ibarət ardıcıllıq (məsələn, 5, 5, 5...). Bu ardıcıllıq 0 fərqi olan hesab və 1 nisbəti olan həndəsi ardıcıllıqdır.
Ortaq fərq tam ədəd olmalıdır.
Həm ortaq fərq, həm də ortaq nisbət ondalık kəsrlər, kəsrlər və ya hətta mənfi ədədlər ola bilər. Mənfi fərq ardıcıllığın azalması, mənfi nisbət isə ədədlərin müsbət və mənfi arasında dəyişməsi deməkdir.
Kalkulyatorlar həndəsi ardıcıllıqları idarə edə bilmir.
Həndəsi ədədlər çox böyük olsa da, müasir elmi kalkulyatorlarda $n^{th}$ terminini və ya bu nümunələrin ümumi cəmini dərhal hesablamaq üçün xüsusi olaraq hazırlanmış "ardıcıllıq" rejimləri mövcuddur.
Tez-tez verilən suallar
Ortaq fərqi (d$) necə tapa bilərəm?
Ortaq nisbəti ($r$) necə tapa bilərəm?
Real həyatda hesab ardıcıllığına nümunə nədir?
Real həyatda həndəsi ardıcıllığa nümunə nədir?
Arifmetik ardıcıllığın cəminin düsturu nədir?
Həndəsi ardıcıllığın cəmi sonlu ədədə bərabər ola bilərmi?
Ümumi nisbət mənfi olarsa nə baş verir?
Əhali artımı üçün hansından istifadə olunur?
Fibonaççi ardıcıllığı hesabdır, yoxsa həndəsi?
Ardıcıllığın ortasında itkin bir termini necə tapa bilərəm?
Hökm
Zamanla sabit, sabit dəyişiklikləri olan vəziyyətləri təsvir etmək üçün hesab ardıcıllığından istifadə edin. Dəyişmə sürətinin cari dəyərdən asılı olduğu çoxalma və ya miqyaslanma proseslərini təsvir edərkən həndəsi ardıcıllığa üstünlük verin.
Əlaqəli müqayisələr
Arifmetik Orta və Çəkili Orta
Arifmetik orta hər bir məlumat nöqtəsini yekun orta qiymətə bərabər töhfə verən kimi qəbul edir, çəkili orta isə müxtəlif dəyərlərə müəyyən əhəmiyyət səviyyələrini təyin edir. Bu fərqi anlamaq sadə sinif orta qiymətlərinin hesablanmasından tutmuş bəzi aktivlərin digərlərindən daha çox əhəmiyyət kəsb etdiyi mürəkkəb maliyyə portfellərinin müəyyən edilməsinə qədər hər şey üçün vacibdir.
Bucaq vs Yamac
Bucaq və maillik xəttin "dikliyini" kəmiyyətcə göstərir, lakin onlar fərqli riyazi dillərdə danışırlar. Bucaq iki kəsişən xətt arasındakı dairəvi fırlanmanı dərəcə və ya radianla ölçsə də, maillik üfüqi "axışa" nisbətən şaquli "qalxmanı" ədədi nisbət kimi ölçür.
Cəbr vs Həndəsə
Cəbr mücərrəd əməliyyat qaydalarına və naməlumları həll etmək üçün simvolların manipulyasiyasına diqqət yetirsə də, həndəsə fəzanın fiziki xüsusiyyətlərini, o cümlədən fiqurların ölçüsünü, formasını və nisbi mövqeyini araşdırır. Birlikdə, onlar riyaziyyatın əsasını təşkil edir və məntiqi əlaqələri vizual strukturlara çevirir.
Cüt və tək ədədlər
Bu müqayisə cüt və tək ədədlər arasındakı fərqləri aydınlaşdırır, hər bir növün necə təyin olunduğunu, əsas hesablamalarda necə davrandığını və tam ədədləri 2-yə bölünmə və sayma ilə hesablamalardakı nümunələrə əsasən təsnif etməyə kömək edən ümumi xüsusiyyətləri göstərir.
Dairə və Ellips
Dairə tək mərkəz nöqtəsi və sabit radiusla təyin olunsa da, ellips bu anlayışı iki fokus nöqtəsinə qədər genişləndirir və bu fokuslara olan məsafələrin cəminin sabit qaldığı uzunsov bir forma yaradır. Hər bir dairə texniki olaraq iki fokusun mükəmməl şəkildə üst-üstə düşdüyü xüsusi bir ellips növüdür və bu da onları koordinat həndəsəsində ən yaxın əlaqəli fiqurlar halına gətirir.